О структуре энергетических зон.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра ЭТТ

РЕФЕРАТ

На тему:

«Модель Кронинга-Пенни. Структура энергетических зон»

МИНСК, 2008

Модель Кронига-Пенни.

 

d=a+b

E<

В модели Кронига-Пенни рассматривается движение электронов в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. Амплитудное уравнение Шредингера для движения в таком поле имеет вид:

Как показал Блох, решением этого уравнения является волновая функция такого типа:

Она представляет собой произведение уравнения плоской бегущей волны , описывающей движение свободного электрона в поле с постоянным потенциалом, на периодическую функцию U(x), зависящую от волнового числа k и имеющую тот же период, что и период потенциала U(x) – период решетки d.

Для областей I(U=0) и областей II(U= ) получаем:

;

;

В области потенциального барьера волновой вектор принимает мнимое значение  , а за пределами барьера при =0 действительное α, А. В, С, Д- постоянные коэффициенты.

С помощью функции Блоха найдем вид функции U(x) для областей I и II:

 

Определить А, В, С, D можно с учётом того, что функция u(x) и её первая производная являются непрерывными в местах скачка потенциала

( с U₁=0 до U₂=U₀ )

И обладает свойствами периодичности с периодам равным d=a+b

.

Решая систему из четырёх уравнений при условии  и что определитель равен 0 получаем:

Использование этих условий позволяет определить не только А, В, С, D, но установить связь между  и . Введём дополнительные упрощения и будем считать, что ширина барьера , а высота  так что произведение bU=const.

Для бесконечно тонкого и бесконечно высокого барьера получаем:

, где .

Это уравнение выражает зависимость энергии электрона E, входящей в переменную  от волнового вектора  для барьеров различной прозрачности Р.

Так как  изменяется в пределах от (+I) до (-I) то  может принимать только такие значения при которых: .

В соответствии с формулой:

заштрихованные участки определяют область разрешенных энергий электрона – энергетические зоны.

Эти зоны отделены друг от друга полосами запрещенных энергии - запрещенными зонами. Им отвечают области значений , в которых, в которых  должна была бы быть больше +I или меньше -I, что запрещено выражением .

С увеличением энергии электрона ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.

Ширина зон зависит также от параметра Р. При  разрешенные зоны сужаются, превращаясь в дискретные уровни, соответствующие  где  т.е. к значениям, соответствующим изолированной потенциальной яме. При , наоборот, исчезают запрещенные зоны и электрон становится свободным.

Выразим Е с помощью

Рассмотрим зависимость энергии электрона от волнового вектора . Штрихпунктирная линия изображает зависимость Е( ) для свободного электрона.

Внутри каждой зоны энергии электрона непрерывно растет с ростом волнового вектора. При значениях: энергия претерпевает разрыв, приводящий к образованию запрещенных зон.

Мы получим формулу Вульфа-Бреггa, выражающую условие отражения волн от плоской решетки для случая, когда угол падения равен 90°. Разрывы в энергетическом спектре электрона в кристалле происходят при выполнении условия Брегговского отражения электронных волн от плоскости решетки. Электроны с такой длиной волны претерпевают в кристалле полное внутреннее отражение и распространяться в кристалле не могут.

Пусть на решетку действуют лучи с длиной волны λ. Лучи, отраженные от атомных плоскостей, интерферируют между собой и

усиливают или ослабляют друг друга.

Усиление происходит в том случае, если разность хода лучей отраженных от сосед­них атомных плоскостей, будет целократна длине волны. Разности хода лучей

Поэтому условие усиления запишется:

Лучи падающие на атомные плоскости под углом, удовлетворяющим этому условию, полностью отражаются и через решетку пройти не могут. При мы получаем:

В случае связанного электрона при значениях волнового вектора кратных π/a энергия терпит разрыв. С увеличением силы связи электро­на высота разрывов становится больше.

Зоны Бриллюэна.

 

При изменении волнового вектора от О до ± 2(π/a), энергия растет при k = π/a непрерывно, она претерпевает первый разрыв. При дальнейшем увеличении k энергия снова растет непрерывно, пока при k = ±2(π/a) не испытает второго разрыва и т.д.

Области значений k , в пределах которых энергия электрона изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называются зонами Бриллюэна.

 

Зона I для линейной модели кристалла простирается от - π /a до + π/a, зона II - от -2(π/a) до - π /a и от + π /a до +2(π /a) и имеет протяженность равную 2(π/a). Все зоны Бриллюэна имеют одну и туже протяженность равную 2(π/a).

Понятие зон Бриллюэна распространяется и на случай двух- и трехмерных решеток. В пределах каждой зоны энергия электрона изменяется непрерывно с изменением волнового вектора, на границах зон она претерпевает разрыв. Утверждения о равенстве всех зон Бриллюэна справедливо для двух- и трехмерных случаев.

Теперь об обратной решетке. Всякой пространственной решетке может быть противопоставлена обратная решетка. Обратная решетка обладает теми же геометрическими свойствами, что и прямая. В основе обратной решетки лежит элеметарная ячейка, образуемая тремя независимыми базисными векторами b1; b2 .

Параллельным переносом элементарной ячейки (трансляцией) можно получить всю обратную решетку. Все узлы обратной решетки могут быть описаны вектором:

Базисные векторы обратной решетки (или постоянные обратной решетки) связаны с постоянными прямой решетки следующими соотношениями в виде векторных произведений:

Из приведенных выражений видно, что вектор b перпендикулярен как a2 так и a3. Численные значения базисных векторов обратной решетки равны:

b1 = 2π/a1 ; b2 = 2π/a2 ; b3= 2π/a3

Каждому виду элементарной ячейки в прямой решетке соответствует определенный вид элементарной ячейки в обратной решетке. Так, простой кубической ячейке соответствует также простая кубическая ячейка обратной решетки с ребрами 2π/a (см. рис.)

Более сложную обратную решётку имеют гранецентрированная кубическая решётка и решётка типа алмаза (см. рис.).

Зона Бриллюэна трёхмерного кристалла совпадает с его обратной решёткой. В кристалле в с простой прямоугольной решёткой энергия электрона является периодической функцией k с периодами 2π/а₁, 2π/а₂, 2π/а₃ по соответствующим осям решётки (см. рис.). Таким образом, пространство обратной решётки представляет собой пространство волнового вектора.

Зона Бриллюэна для решётки типа алмаза представляет собой многогранник, окружённый шестью плоскостями типа (100) и восемью плоскостями типа (111). Зона Бриллюэна лежит в пределах волнового вектора -2π/а ≤ k ≤ 2π/а.

Обозначения: [0 2π/а 0], [0 1 0].

Электроны обладают волновыми свойствами, и их движение через кристалл можно представлять себе как процесс распространения электронных волн. Если для этих волн условие Вульфа-Брэггов не выполняется, то движение электрона описывается бегущей волной e^ikx и связь энергии E с волновым числом является однозначной. При выполнении условия Вульфа-Брэггов, т.е. в точках k_n=nπ/а наступает отражение электронных волн от атомных плоскостей, интерференция отражённых волн с бегущими и образование стоящих волн. Поэтому в точках k_n=nπ/a электроны следует представлять уже не бегущей волной, а стоячей, состоящей из двух одинаковых бегущих волн:

e^ikx и e^-ikx,

распространяющихся в противоположные стороны. Эти волны дают два решения уравнения Шрёдингера. Для точки k=π/a эти решения имеют следующий вид:

ψ₁=A₁e^i(π/a)x- B₁e^-i(π/a)x,

ψ₂=A₂e^i(π/a)x+B₂e^-i(π/a)x.

Решениям ψ₁ и ψ₂ соответствуют разные энергии. Решению ψ₂ отвечает энергия E_min, которая соответствует верхней границе первой зоны (точка А); решению ψ₁ — энергия E_max, отвечающая нижней границе второй зоны (точка B). При k несколько меньшем π/а энергия электрона меньше E_min; при k несколько больше π/а собственные значения энергии электрона лежат выше E_max. В промежутке между E_min и E_max не лежит ни одно собственное значение энергии электрона, т.е. область между E_min и E_max представляет собой запрещённую зону энергии.

 

О структуре энергетических зон.

В трёхмерном кристалле периодичность решётки в разных направлениях различная: a ≠ b ≠ c. Поэтому в трёхмерном векторном пространстве (k_x, k_y, k_z) k_x = ±nπ/a, k_y = ±nπ/b, k_z = ±nπ/c, при которых наступает брэгговское отражение электронных волн и возникают разрывы в энергетическом спектре электрона, для разных направлений в решётке должны быть различными.

I. Предположим, что область энергии, запрещённая для одних направлений, является разрешённой для других направлений. В этом случае запрещённые полосы, соответствующие этим направлениям, не перекрываются.

 

На рисунке: кривые зависимости энергии электрона от волнового числа для направлений k_x, k_y, k_z. Запрещённые полосы, соответствующие этим направлениям, не перекрываются.

 

 

Направления не перекрываются

 

Кривые зависимости энергии электрона от волнового числа для направления k_x k_y k_z. Запрещенные полосы соответствующие этим направлениям не перекрываются.

 

 

Запрещенные полосы перекрываются.

 

Поэтому, хотя определенные области энергий запрещены для электронов, движущихся в одном направлении, они являются разрешимыми для электронов движущихся в другом направлении. Энергетический спектр в целом оказывается квазинеприрывным.

2. Случай. Предположим теперь, что полосы запрещенных энергий для направлений a, b, c, перекрываются. В этом случае существуют области энергий, запрещенные для электронов движущихся в любых направлениях. Энергетический спектр таких электронов будет состоять тогда из зон разрешенных энергий, разделенных полосами запрещенных энергий.

Внутри зоны волновое число h меняется от -П/а до П/а . Положение периодических краевых условий ограничивает k следующими значениями

k=n2П/L, n=± 0, ± 1, ± 2, ... ± L/2

где L – длина атомной цепочки, a – параметр решетки.

Из формулы видно, что число независимых значений k равно L/a=N, где N – число атомов в цепочке.

Таким образом, в интервале -П/а до П/а k может принять только N различных значений, которым соответствует N различных энергетических уровней, для трехмерного кристалла N представляет собой число атомов в кристалле.

 

Приведенные зоны.

Рассмотренные представления о периодическом характере зависимости энергии от волнового вектора, позволяют привести зависимость к первой зоне Бриллюэна.

Энергия электронов в каждой разрешенной энергетической зоне является периодической функцией k при переходе из одной зоны Бриллюэна в другую. Период этой зависимости для линейной решетки определяется величиной 2π/а. Это означает, что последующие зоны Бриллюэна дают состояния, эквивалентные состояниям первой зоны Бриллюэна. Иначе говоря, можно сдвинуть все кривые E(k) в разных зонах Брилллюэна на целое число периодов 2π/а, так чтобы они попали в первую зону Брилллюэна. Совокупность кривых E(k) для разных энергетических зон, нанесенных в первой зоне Брилллюэна, позволяет представить всю зонную схему в пределах одной - приведенной зоны Брилллюэна.

 

 

А) -завивисимость энергии электрона от волнового вектора для случая слабой связи. Штриховой Линией показана зависимость Е(h) для свободного электрона;

Зависимости энергии электрона от волнового вектора для трех направлений в h-пространстве, когда энергетические зоны не перекрываются (Б) и валентная зона в направлении kz перекрывается с зоной проводимости в направлении ky. Удобно пользоваться упрощенным видом энергетических зон, для чего энергетическую зону представляют в виде набора энергетических уровней, принадлежащих всему объему кристалла (см. Рис.).Число Энергетических уровней в каждой зоне, очевидно, равно числу разрешенных значений волнового вектора. При построении энергетических уровней необходимо иметь в виду, что в качестве исходных зон следует выбирать зоны Бриллюэна в тех направлениях, в которых имеются максимальные значения энергии. Например, для кристалла с кубической решеткой такими направлениями являются (100) и (100) в k-пространстве.