Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений.

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а так же уравнений начинается еще с первого класса, в период изучения нумерации в пределах 10.

Так знакомство с равенствами и неравенствами начинается уже с девятой страницы. Дети учатся сначала сравнивать числа, затем выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью знаков «<», «>»,  «=» и читать полученные равенства и неравенства.

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел:

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 7                  ¡ ¡ ¡ 3

                                    7 > 5                           3 = 3

∆ ∆ ∆ ∆ ∆                5          o o o 3

в дальнейшем при сравнение чисел учащиеся опираются на знание их места в натуральном ряду: девять меньше, чем десять, потому что при счете число девять называют перед числом десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков <, >, =, учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе.

Переход к сравнению двух выражений осуществляется постепенно. Сначала дети знакомятся с самими выражениями.

При формировании понятия числового выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обозначает действия, которое надо выполнить над числами; с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6 + 4 – это сумма чисел 6 и 4).

Понятия о выражениях формируется в тесной связи с понятиями об арифметических действия и способствует лучшему их усвоению. В первом классе формируется представление о простейших выражениях (сумма и разность). Знакомство осуществляется при помощи метода изложения.

На доске записан пример на сложение: 5 + 2.

Назвать и подписать: это сумма.

Найти чему равна сумма: 7.

Записать и подписать – это тоже сумма.

Каждое из чисел имеет свое название (имя): 5 – первое слагаемое, 2 – второе слагаемое. Наш пример можно прочесть так: сумма чисел 2 и 5 равна 7; первое слагаемое 5, второе – 2, сумма – 7.

Так же знакомятся и с разностью. И только после этого дети сравнивают выражение с числом, а далее выражение с выражением.

На первом уроке можно дать упражнение на сравнение с опорой на рисунки, например, в двух рядах рисуются по 6 квадратов (6 = 6), затем в первом ряду дорисовывают два квадрата или зачеркивают два квадрата. И дается запись:

6 + 2 > 6                             6 – 2 < 6

    8 > 6                               4 < 6

Дети говорят: «Слева было 6 и справа 6. Справа так и осталось 6, а слева прибавили (отняли) 2. Там стало больше (меньше)». Для проверки выполняются вычисления и сравниваются полученные числа.

Затем переходят к сравнению двух выражений. Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Например, надо сравнить суммы 6 + 4 и 6 + 3. Рассуждение: первая сумма равна 10, вторая – 9, 10 больше, чем 9, значит сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3.

6 + 4 > 6 +3

                                                 10> 9

Так же в первом классе осуществляется знакомство с записью и чтением выражений со скобками и некоторыми случаями в которых нужно установить порядок действий. Например, 70 – 26 + 10, 42 + 18 –19 и т. д. Выполняют тождественные преобразования, опираясь на свойства арифметических действий (прибавление числа к сумме и суммы к числу).

Например, продолжи запись: 76 – (20 + 4) = 26 – 20… Кроме этого, в первом классе проводится подготовительная работа к ознакомлению с уравнениями.

Неизвестно число появляется впервые уже в связи с решением примеров вида 1 + 1 = 2, которые решаются при изучении нумерации в пределах десяти. В этом примере два известных числа 1 и 1, а третье число, которое получится, надо найти. Число которое требуется найти, называют неизвестным.

Постепенно задания усложняются. Так, детям предлагается, пользуясь рисунком, имеющимся в учебнике, составить пример, в котором надо прибавить 1: o + 1 = o.

В рассмотренных примерах неизвестным числом являлся результат действия. В дальнейшем дети встречаются и с такими случаями, когда неизвестным оказывается один из компонентов действия. Например, спишите пример, заполняя пропуск: 3 + o = 5.

Далее, изучение выражений с переменными, равенств и неравенств, уравнений продолжается во втором классе. 

Здесь дети знакомятся с терминами «равенство» и «неравенство». Учащимся предлагается проверить, верны ли записи (даны два столбика равенств и неравенств). Учитель поясняет, что, если между выражениями стоит знак равно, - это равенство, а если знак больше или меньше это неравенство. Равенства и неравенства бывают верными и неверными. Учащиеся выбирают верные равенства и верные неравенства из предложенных. Затем решают большое количество заданий такого типа на закрепление.

Так же во втором классе дети знакомятся с темой «Порядок действий» в сложных выражениях. Формулируют правило: если в выражении без скобок есть только сложение и вычитание или умножение и деление, то они выполняются по порядку слева направо. Учитель обращает внимание детей на то, что при не соблюдении этих правил получатся не верное равенство.

Затем изучается порядок действий в выражении без скобок, в которых есть умножение и деление, сложение и вычитание: в выражениях без скобок умножение и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание.

После этого изучается правило порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках одно действие. Знакомятся с такими тождественными преобразованиями как умножение и деление суммы на число.

Вводится новое понятие, выражение с переменной. В подготовительной работе нужно повторить название чисел в математических выражениях: «сумма чисел», «разность чисел», «произведение чисел», а так же зависимость между компонентами и результатом действий.

Хорошим упражнением для подготовки к введению буквенной символики являются задачи с пропущенными числами.

В начале вводятся выражения с одно переменной. Для этого можно использовать пособие – прямоугольник с вырезанным «окошком» и продвижной лентой. На ленте записаны числа, например, 2, 6, 8, 15, а на картоне за «окошком» записано +8. Учитель передвигает ленту, а дети называют и записывают соответствующие выражения: 2 + 8, 6 + 8 и т. д. Учитель сообщает, что в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы. Учитель объясняет: «Запишем вместо «окошка», например, букву с, тогда получим выражение с + 8, которое читают так: «сумма чисел с и 8». Найдем значение этой суммы , подставляя значения записанные на этой ленте ( учитель передвигает ленту, а дети записывают на доске и в тетрадях выражение: с + 8, с = 2, 2 + 8 = 10; с = 6, 6 + 8 = 14 и т. д.»

Числа 2, 6 , 8, 15 - это обозначения буквы с, а числа 10, 14 … - это значение выражения с + 8 приданных значениях буквы.

Можно ли букве с придать другие значения? Назовите их. Дети называют несколько значений, записывают числовые выражения и находят их значения. Учитель замечает, что букве с можно придать очень много различных значений.

Для ознакомления с выражениями с двумя переменными можно использовать специальное пособие - прямоугольник с двумя «окошечками» и провести работу, аналогичную той, что при введении выражения с одной. Начать можно и с рассмотрения простой задачи, например, такой:

«На одной полке 3 книги, а на другой – 5 книг. Сколько всего книг на этих полках?»

Дети знают, что такие задачи решаются сложением.

На доске запись:

На 1 полке           На 2 полке                     Всего

  3 кн.                      5 кн.                     (3 + 5) кн.

6 кн.                      4 кн.                       (6+4) кн.

  а кн.                  в кн.                   (а + в) кн.

Затем в задаче меняются числовые данные: «На одной полке 6 книг, а на другой - 4». Вопрос тот же, запись данных и решение проводится по той же таблице.

С целью закрепления знаний приобретенных при первом знакомстве с буквенными выражениями, выполняются упражнения, связанные с вычислением значений данного выражения при заданных значениях букв. Полезны и упражнения на заполнение таблиц, где компоненты действий обозначен буквами.

И еще один элемент алгебры, который дети изучают во втором классе – это уравнения.

При введении уравнений они решаются подбором используя знания состава чисел, табличных случаев сложения, вычитания умножения и деления. После решения нескольких примеров подбором учитель дает уравнение х + 28 = 40, предлагает прочесть: первое слагаемое неизвестно, второе – 28, сумма - 40, надо найти первое слагаемое. Дети говорят правило нахождения неизвестного слагаемого: чтобы найти первое слагаемое, надо из суммы 40 вычесть известное слагаемое – 28.

Вычисляем: 40 –28 = 12, т. е. х = 12.

Проверяем: 12 + 28 = 40, значит уравнение решено правильно. Запись на доске и в тетрадях:

х + 28 = 40                      Проверка:

х = 40 - 28         12 + 28 = 40

х = 12                    40 = 40.

Затем аналогично изучаются уравнения видов:

Х – 5 = 27 – нахождение неизвестного уменьшаемого;

32 – х = 8 – нахождение неизвестного вычитаемого;

14 · х = 28 – нахождение неизвестного множителя;

х : 6 = 12 – нахождение неизвестного делимого;

48 : х = 4 – нахождение неизвестного делителя.

Овладение понятием «уравнение» способствует и решение задач способом составления уравнения. Необходимым требованием для этого является умение составлять выражения по их условиям.

В третьем классе решаются задачи с помощью составления уравнения, в которых надо найти неизвестный компонент действия.

Для решения задачи с помощью уравнения обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное, записывают его. Полученное уравнение решают, используя знания, связи между компонентами и результатом действия. Затем дается ответ на вопрос задачи.

Так же с помощью уравнений решаются задачи на нахождение одной из сторон прямоугольника по известным площади и длине смежной стороны.

Задачи на составление уравнений решаются систематически – это хорошее упражнение на отработку понятия уравнения.

Кроме решения уравнений учащиеся в третьем классе продолжают работу над выражениями с переменной, а так же с изучением порядка действий.

Таким образом учащиеся проверяют знания свойств арифметических действий в таких упражнениях: при каких значениях букв верны следующие равенства: 36 · в = в; а · а = а; с + с = с; 10 · с = 10; 49 · а = 0; в · 0 = 0; 12 · а = а · 12; в + в = в.

В данном уравнении буквенная символика способствует повышению уровня обобщения знаний и готовит их к изучению алгебры.

И новым в вопросе о порядке действий в выражениях является изучение правила порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках несколько действий.

Таким образом можно сделать вывод о том, что изучение числовых выражений с переменной, числовых равенств и неравенств, уравнений продолжается на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.