Ошибки метода конечных элементов

Критерии устойчивости, сходимости и точности в основном определяются погрешностями различного рода операций, проводимых в МКЭ.  Наряду с обычными ошибками округления и погрешностью приближенных методов линейной алгебры, применяемых в МКЭ, есть и ошибки, имеющие непосредственное отношение к методу конечных элементов. Разбиение области на КЭ не является единственным. Зависимость расчета от выполняемого пользователем выбора (построения) сетки КЭ и трудность оценки точности получаемых результатов является основными недостатками метода.

Погрешности метода конечных элементов связаны с:

– ошибки дискретизации, являющиеся результатом различий между действительной геометрией рассчитываемой области и ее аппроксимацией системой конечных элементов;

– ошибки аппроксимации, обусловленные разностью между действительным распределением искомых функций в пределах КЭ и их представлением с помощью аппроксимирующих функций.

Ошибки дискретизации уменьшаются с увеличением числа конечных элементов и соответственно с уменьшением их размеров, причем они стремятся к нулю, когда размер элемента стремится к нулю. Эти ошибки уменьшаются и с применением криволинейных элементов на соответствующих границах области. Ошибки аппроксимации не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размеров элементов или повышения степени аппроксимации, поэтому могут ухудшать сходимость к точному решению или даже приводить к расходимости.

Однако общий метод оценки(универсальный и теоретически обоснованный) погрешности МКЭ на сегодня отсутствует, а точное решение в реальных задачах обычно не известно. Поэтому наиболее часто для оценки погрешности используют следующий прием: выполняют несколько расчетов при различных разбиениях области КЭ, по результатам этих расчетов строится зависимость рассчитанных напряжений (перемещений, деформаций) от размера элемента, затем выполняется экстраполяция на случай размера элемента, стремящегося к нулю.

Однако эти ошибки аппроксимации можно свести к минимуму, если при построении аппроксимирующих функций обеспечить:

1) непрерывность искомой функции и ее производных при переходе через границу КЭ до степени m–1 включительно (m – наибольший порядок производных искомой функции содержащихся в функционале);

2) выполнение условий полноты, т. е. при уменьшении размеров КЭ аппроксимирующие функции должны обеспечить стремление значений искомой функции, а также ее производных к постоянным значениям;

3) выполнение условий совместности искомой функции и частично ее производных на границе между смежными элементами;

4) приближенное удовлетворение условий совместности не основных переменных (например, напряжений, если основные неизвестные – перемещения) на границах КЭ, а также граничных условий в рассматриваемой области;

5) исключение концентрации напряжений в КЭ, если в рассматриваемой области такие концентрации заведомо отсутствуют;

6) при перемещениях КЭ как жесткого целого в нем не должны возникать деформации.

Требование полноты аппроксимирующих функций необходимо для учета смещения КЭ как жесткого целого и обеспечения состояния постоянных деформаций в элементе. Механический смысл совместности заключается в непрерывности основных неизвестных на смежных границах соседних КЭ. В сложных эрмитовых элементах выполнение условий совместности достигается сложнее. Между тем имеются случаи, когда несовместные элементы дают очень хорошие результаты при быстрой сходимости решения к точному.

Отметим еще одну важную с точки зрения практики расчетов особенность метода. МКЭ (в рассмотренной постановке) подбирает поле перемещений так, чтобы минимизировать некоторый функционал, имеющий энергетический смысл. Поэтому точность определения упругой энергии, запасенной в конструкции при заданных нагрузках, оказывается выше, чем точность определения перемещений. Точность определения напряжений оказывается ниже, чем точность определения перемещений, поскольку напряжения определяются по деформациям, получаемым дифференцированием перемещений, и ошибки численного дифференцирования могут играть заметную роль.

С учетом ошибок округления ситуация оказывается более сложной: при большом числе элементов N решение может расходится из-за накапливающихся ошибок округления, даже если условия сходимости выполняются.

Эти ошибки наиболее существенны, если конечные элементы сильно вытянуты или имеют углы, величина которых близки к 0º или 180º. В этом случае расчет напряженно-деформированного состояния элемента становится плохо обусловленным(часть вблизи очень острого угла "не чувствует", что происходит в остальном элементе). С целью не допустить здесь больших ошибок разработчики пакетов КЭ обычно ограничивают отношение сторон элемента и величины углов; в пакеты вводятся специальные средства проверки элементов, рекомендующие пользователю - если необходимо - перестроить сетку или делающие это автоматически. Наилучшим в этом смысле являются КЭ в виде правильных многоугольников (квадрат, равносторонний треугольник, куб, правильный тетраэдр); приемлемыми являются элементы с отношением сторон до - примерно 1:4 и углами от 25º до 155º.

В настоящее время, при отсутствии общей теории оценки погрешности МКЭ, в реальных задачах практически единственным методом оценки точности является построение зависимостей типа показанной на рис 14 (зависимость результатов - напряжений, перемещений - от разбиения) и их экстраполяция с учетом опыта.