Практическая работа № 2

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

 

а) ; б) .

 

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

 

.

 

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

 

.

 

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

 

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

 

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

 

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

Отсюда получено:

 

.

 

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

 

Рис.1

 

Рис. 2

 

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) = .

 

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:

 

,  и .

 

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

 

.

 

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y, x и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

 

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

 

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

 

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

 

Отсюда получено:

 

.

Если обозначить передаточные функции объекта как

 

 и ,

 

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

 

Рис. 3

 

Характеристическая функция имеет вид:

 

,

 

а характеристическое уравнение:

 

.

 

Корни этого уравнения равны:

 

 и .

 

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Рис. 4.

 

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

 

 

Зная, что по определению, , получим:

 

, тогда:

.

 

Раскрывая скобки:

 

 

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

 

.

 

Практическая работа № 2

 

 

 

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

- передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

- характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

- передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

- коэффициенты усиления АСР,

- устойчивость системы.

Р - ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

 

.

Определим передаточную функцию объекта:

W об( s ) .

 

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

 

 

Характеристическое выражение замкнутой системы:

 

;

 

Передаточные функции замкнутой системы:

 

 - по заданию;

 - по ошибке;

 - по возмущению.

 

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

 

 

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

 

 

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.