Даны координаты вершин треугольника АВС

Задача 1

 

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

 

 

Решение:

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

 

 

Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D₁, D₂, D₃, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

 

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

 

            

 

Ответ: получили решение:

 

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы

 

 

Примем первую строку за направляющую, а элемент а₁₁ = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

 

 

Матрице  соответствует множество решений системы линейных уравнений

Ответ: получили решение:

 

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение и длину высоты CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1), В(4; 3).  С(5; 1).

 

Решение

1) Расстояние между точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) определяется по формуле

 

 

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

 

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) имеет вид

 

 

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

 

 

Угловой коэффициент k_АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть  откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

 

 

Угловой коэффициент k_ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.

У нас , то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

 

 

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения k_ВС и k_АВ в (3), находим:

 

 

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

 

           

 

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

 

5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х₀; у₀) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид

 

 

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k_ABk_CD = -1, откуда k_CD = -1/k_AB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение k_СD = -3/4, а вместо x ₀ , y ₀ ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD

 

 

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х₀; у₀) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:

 

 

Подставив в (5) вместо х₀; у₀ координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

 

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k_EF = k_AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х₀; у₀ координаты точки Е, а вместо k значение k_EF получаем уравнение прямой EF'.

 

 

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

 

 

Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

 

 

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М₀(х₀; у₀) имеет вид

 

Имеем

 

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на  рис.1.

 

Рис. 1

 

Задача 3

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

 

Решение

Пусть М (x , у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то

Pиc. 2

 

 

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).

 

Задача 4

 

Найти указанные пределы:

а)

 

Ответ:

 

б)

 

Ответ:

 

Задача 5