Алгоритм оптимального оценивания ошибок динамических объектов контроля в дискретном времени

Конструкторский раздел

Структура системы контроля на основе оптимального оценивающего фильтра

При практической реализации диагностических моделей на основе наблюдателей параметров состояния необходимо учитывать следующие особенности реальных объектов контроля.

Нелинейная взаимосвязь входных и выходных сигналов объекта контроля;

Нелинейная взаимосвязь сигналов объекта контроля и наблюдений;

Влияние возмущений на входные и выходные сигналы объекта контроля, а также на наблюдателя.

Поэтому возникает необходимость построения стохастических диагностических моделей. Технология формирования таких моделей опирается на математическое описание функционирования эталонного и реального объектов контроля. Таким ОК ставятся в соответствие идеальный  и реальный  векторы параметров состояния, которые описываются следующими дифференциальными уравнениями:

для идеального ОК: ;                                        (%1)

для идеального ОК:                     (%2)

где – вектор погрешностей действующий на ОК, характеризующийся ковариационной матрицей;

Параметры реального и идеального ОК связаны через уравнение ошибок. Для получения уравнения ошибок вычтем из соотношения (%2) выражение (%1) и разложим функцию  в ряд Тейлора относительно параметров идеального ОК, тогда

     (%3)

Обозначим  – вектор ошибок ОК;

 – матрица коэффициентов, характеризующих динамику изменения ошибок ОК (фундаментальная матрица динамической системы).

Тогда из соотношения (%3) можно получить следующее уравнение ошибок:

                                  (%4)

Аналогичным образом можно определить взаимосвязь наблюдаемых параметров с ошибками ОК. Наблюдаемые параметры реального объекта контроля (ОКР) описываются уравнением

.                                                              (%5)

Модель внешнего по отношению к ОКР наблюдающего устройства имеет вид ,                                                    (%6)

где  – вектор возмущений в канале наблюдения.

 – вектор наблюдений, формируемых эталонной по отношению к ОКР системой.

Вычитая из соотношения (%5) выражение (%6) и разложив функцию  в ряд Тейлора относительно параметров идеального ОК, получим

        (%8)

Обозначим  – вектор наблюдений;

 – матрица связи наблюдаемых параметров с вектором ошибок ОКР.

Тогда из уравнения (%8) можно получить модель наблюдения ошибок ОКР (модель сигналов)

                                                           (%10)

С учетом уравнений (%4) и (%10) сформируем алгоритм оптимального оценивания ошибок ОКР.

Алгоритм оптимального оценивания ошибок динамических объектов контроля в дискретном времени

На практике наблюдения , отражающие состояние объекта контроля, формируются в дискретные моменты времени  и обозначается . Для получения оптимальных оценок вектора ошибок ОКР по наблюдениям  применяют дискретный оптимальный фильтр Калмана. Для реализации такого фильтра необходимо определить динамику изменения оценок  и ковариационных матриц  за время  между моментами наблюдений  и . Переходные матрицы  и  для прогнозирования указанных параметров находятся из решения дифференциального уравнения (%4). Для однородной части этого уравнения при неизменной матрице  на интервале прогноза решение определяется следующими отношениями:

                                      (%32)

                                                  (%33)

,                                           (%34)

где

 – переходная матрица для вектора ошибок, удовлетворяющая следующему дифференциальному уравнению.

                                   (%35)

При .                                                     (%36)

Для определения переходной матрицы  для вектора возмущений  покажем сначала, что решение неоднородного уравнения (%4) имеет вид

.                        (%37)

Дифференцируя соотношение (%37) по аргументу  и применяя правило Лейбница к интегралу свертки, а именно:

   (%38)

Получим

. (%39)

С учетом равенства (%35) и условия (%36) соотношение (%39) можно привести к следующему виду:

(%40)

Можно видеть, что подстановка решения (%37) в соотношение (%40) приводит к уравнению, эквивалентному (4). В выражении (%37) можно ввести следующее обозначение:

                                                           (%42)

Тогда, дифференцируя интеграл свертки (%42) по правилу (%38) и учитывая соотношения (%35), (%36), получим дифференциальное уравнение для переходной матрицы вектора возмущений ОКР.

 при .         (%43)

Таким образом, уравнение ошибок ОК (4) будет иметь вид

,                                                             (%44)

С учетом решения (%37) значения оценок  вектора ошибок ОК  и его ковариационной матрицы  на интервале прогноза  будут определяться следующими соотношениями:

                                                                 (%45)

 

.        (%46)

Соотношение (%46) сформировано с учетом некоррелированности начальных ошибок оценивания и шумов ОК, т.е.  для .

Для того, чтобы гарантировать попадание точки, в которой наблюдается всплеск дельта-функции, в область интегрирования, необходимо вначале интегрировать по переменной, имеющей больший диапазон. В частности, при  необходимо выражение (%46) сначала проинтегрировать по . В этом случае соотношение (%46) с учетом свойств дельта-функции (%27) можно представить в следующем виде:

(%47)

Для рекуррентного определения интеграла в соотношении (%47) введем обозначение

                           (%48)

Тогда, дифференцируя выражение (%48) по правилу Лейбница (%38) и учитывая равенство (%35), получим

(%49)

С учетом равенства (%48) уравнение (%49) примет следующий вид:

.               (%50)

Рекуррентное вычисление ковариационной матрицы шумов ОК может быть реализованы на основе решения дифференциального уравнения (%50), например, методом Эйлера, а именно:

,                                                                      (%51)

где

С учетом соотношений (%44), (%47), (%51) прогнозируемые значения оценок  для -го момента времени  будут иметь вид

;

,

где  – значение ковариационной матрицы в -й момент времени  после обработки наблюдения .

Скорректированная по текущему наблюдению  оценка  вектора ошибок ОК  и его ковариационная матрица  могут быть найдены из решения следующей оптимизационной задачи методом наименьших квадратов:

,                                                                       (%54)

где

 (%55)

 – ковариационная матрица для ошибок наблюдений .

Применяя правило дифференцирования по параметру для квадратичной формы (%55), получим следующее решение задачи (%54)

.     (%56)

Уравнение (%56) можно привести к виду

 

.                     (%57)

Отсюда может быть получено выражение для скорректированной оценки вектора ошибок ОК

,                                             (%58)

где ;                                                        (%59)

 – оптимальный коэффициент усиления.                 (%60)

Применяя лемму об обращении матрицы к соотношению (%59), представим в развернутом виде

.                         (%61)

Подставляя выражение (%61) в соотношение (%60), получим следующее эквивалентное выражение для оптимального коэффициента усиления:

.                                                     (%62)

Объединяя уравнения (%52), (%53), (%58), (%61), (%62) в единую структуру, получим алгоритм оптимального оценивания ошибок динамических объектов контроля в дискретном времени

Прогноз:

;                                                                             (%63)

.                                                                (%64)

Коррекция:

;

;                                               (%66)

;                                                                             (%67)

.                                                                   (%68)

Уравнения (%63)-(%68) описывают оптимальный фильтр Калмана в дискретном времени.

 

Для оценки технического состояния динамических систем авиационного оборудования с помощью ОФК в структуру системы контроля должны быть включены уравнения ошибок и наблюдений. Однако, если для реализации схем контроля применять только модель ошибок, то каждому множеству технических состояний ОК необходимо ставить в соответствие свои уравнения вида (%2) и (%4). Кроме того, возникает задача согласования текущего состояния ОК с соответствующей моделью из «банка» оценивающих фильтров, что трудно реализуемо на практике. Поэтому алгоритмы контроля целесообразно строить на основе уравнений вида (%4), настроенных на исправное состояние ОК. С учетом этого могут быть сформированы диагностические параметры, которые должны отражать отклонение реального состояния ОК от исправного. Указанные параметры могут быть указаны так, чтобы их для них можно было обосновать формализованные допуски. Статистические свойства ОФК позволяют сформировать диагностические параметры, на базе элементов вектора невязок (%65).

 

Свойства оптимального фильтра Калмана позволяют реализовать на его основе диагностические модели как сигнального, так и параметрического типа. Ядром таких моделей являются уравнения наблюдений и ошибок объекта контроля. При этом должны учитываться следующие особенности включения ОФК в структуру системы контроля:

- необходимо одновременно решать нелинейные динамические уравнения ОК и линеаризованные уравнения его ошибок;

- ОФК должен функционировать в условиях априорной неопределённости относительно структуры и параметров диагностических моделей ОК, а также статистических характеристик возмущений и шумов.

В настоящее время ОФК составляет ядро программно-математического обеспечения современных навигационных комплексов. Это создает необходимую основу для расширения функциональных возможностей ОФК на решение задач контроля и диагностики.