Матрицы и определители
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ По выполнению домашних контрольных работ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Направления подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» Направленность (профиль) «Менеджмент в электроэнергетике и электротехнике»
Для заочной формы обучения
Челябинск, 2018 «Высшая математика» : Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы / Коробейникова И.Ю. – Челябинск: ОУ ВО Южно-Уральский институт управления и экономики, 2018. – 13 с.
«Высшая математика» : Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы: Предназначены для 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника». Является единой для всех форм обучения.
Автор: к.п.н., И.Ю. Коробейникова
Рецензенты:
© Издательство ОУ ВО «Южно-Уральский институт управления и экономики», 2018 ВВедение Курс дисциплины «Высшая математика» является фундаментом дальнейшего образования инженера, имеющим важное значение не только для изучения общетехнических дисциплин, но и для специальных дисциплин в особенности.
Изучив дисциплину «Высшая математика» студент должен:
- Ознакомиться с основами линейной алгебры, высшей алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, кривых и поверхностей, элементами топологии.
- Изучить основы математического анализа, дифференциальное исчисление функций одного и нескольких переменных, изучить неопределенные и определенные интегралы, кратные интегралы, ознакомиться с элементами дискретного анализа.
- Знать основные типы дифференциальных и разностных уравнений и методы их решения.
- Знать и уметь использовать на практике признаки сходимости числовых и функциональных рядов.
- Иметь представление о функциях комплексного переменного и элементах теории поля.
- Ознакомиться с основами вариационного исчисления и оптимального управления.
- Знать важнейшие понятия теории вероятностей и математической статистики.
- Иметь представление о моделях случайных процессов и элементах теории массового обслуживания.
- Иметь представление о временных рядах, математическом моделировании. Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций, представленных в таблице. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине «Высшая математика», соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы Таблица 1− Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
Раздел 1 Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия Матрицы и определители
Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Определители второго, третьего порядков и матрицы n -го порядка. Теорема Лапласа. Присоединенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы как наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы — максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов). (1, гл.1, § 1.1-1.6; с.9-35); (2, гл.1). Надо хорошо уяснить, что матрица — это прямоугольная таблица,составленная из mn чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц). Необходимо усвоить следующее: строки обозначаются индексом ”i”, столбцы индексом ”j”. Поэтому любой элемент матрицы можно обозначить aij. Это означает, что элемент aij находится в i-ой строке и в j-ом столбце. Например, a11 – элемент первой строки и первого столбца; a23–элемент второй строки и третьего столбца. Индекс с «i» растет всегда «вниз», а индекс «j» – растет вправо. Размер матрицы m х n означает, что конечные величины i и j равны соответственно m и n, т.е. iкон=m, jкон=n. При вычислении определителей необходимо отметить, что определитель есть число и вычисляется по определенным правилам. Необходимо рассмотреть правило вычисления определителей второго порядка и правило треугольника или правило Сарруса для вычисления определителей третьего порядка. В качестве универсального метода вычисления определителей необходимо рекомендовать вычисление на основе теоремы Лапласа. Для этого нужно знать определение минора (вычисление), определение алгебраического дополнения Aij=(-1)i+jMij и саму теорему Лапласа. (1, пример 9, с. 25, с. 26). Мало того, нужно обратить внимание и на то, что определители порядка больше трех вычисляются с помощью теоремы Лапласа. Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения ( 1, с. 12 – 13) и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В:число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения состоит в том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ¹ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевой матрицей. Например, можно легко показать, что произведение матриц есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю). = Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять, знать, что для существования матрицы А-1 , обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА-1 или А-1 А. Если оно является единичной матрицей Е, то, в соответствии с определением, матрица А -1 вычислена правильно. Нужно уметь вычислять определители второго и третьего порядков (метод треугольника) и более высших порядков (1, пример 1.9, c.25, 26). При вычислении определителей нужно активно использовать свойства определителей 2,4,5,6,8. Теорему Лапласа нужно знать твердо и уметь ее использовать для практики. Разобрать для усвоения материала по вычислению определителей задачи 1.19-1.21. Вычисление обратной матрицы осуществлять по алгоритму, изложенному в (1). Нужно четко усвоить в алгоритме, что обратная к исходной матрице существует. После этого определяется транспонированная к исходной матрица. Именно для транспонированной матрицы А¢ ищутся алгебраические дополнения Aij. Из алгебраических дополнений к транспонированной матрице составляется присоединенная (союзная) матрица. Если известна союзная матрица и определитель исходной матрицы, то вычисляется обратная матрица A-1= / . Обратная матрица будет использоваться для решения систем линейных уравнений. Для усвоения материала необходимо разобрать задачи (1, 1.15— 1.18, 1.22—1.29). Пример: Найти матрицу С=В¢×А¢×А×В, если А= , В= . Решение: Алгоритм решения: 1. Находим матрицы В¢, А¢, транспонированные к матрицам А и В. А¢= , В¢= . 2. Находим произведение матриц: В¢×А¢= × = . Это возможно ибо число столбцов матрицы В¢ равно числу строк матрицы А¢. 3. Находим произведение матриц: А×В= = . 4. Находим произведение С=В¢×А¢×А×В= = (10) Ответ: C = (10)
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (195)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |