Основные методы моделирования случайных величин (с.в.) на ПЭВМ .

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

ИРКУТСКИЙ ФИЛИАЛ

 

 

       КАФЕДРА ____АРЭО_________________________________________________

 

ЛЕКЦИЯ №__4_______

по дисциплине

_______Моделирование систем и процессов____

____________________________________________

                                                  

 

для студентов специальности_162107_

 

ТЕМА № 4. Методы моделирования случайных величин и процессов.

____________________________

_______________________________

Иркутск, 2014 г.

 

 

Иркутский филиал МГТУ ГА

кафедра_______АРЭО_______________________________________________

(наименование кафедры)

 

          УТВЕРЖДАЮ                 

Заведующий кафедрой         

Доцент                  О.В. патрикеев

____________________________

(уч. степень, уч. звание, подпись, фамилия)

                                                            26.06.2014

 

Лекция № 4_

 

По дисциплине__Моделирование систем и процессов

(полное наименование дисциплины в соответствии с учебным планом)

 

 Тема лекции Методы моделирования случайных величин и процессов.

 (полное наименование темы лекции)

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

4.1. Основные методы моделирования случайных величин (с.в.) на ПЭВМ .

(наименование первого вопроса лекции)

4.2. Программный способ получения исходной последовательности независимых с.в. с равномерным законом распределения на интервале [0,1].

4.3. Пример датчика базовой св..

(наименование второго вопроса лекции)

4.4. Метод нелинейного преобразования, обратного заданной функции распределения.

(наименование второго вопроса лекции)

 

Литература: [1] с.62-67,[2] с.234-238, [3] с.95-99.

 

 

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ТСО

1.___Мультимедийная установка____________________

(наименование)

2._______________________________________________

(наименование)

 

Обсуждено на заседании кафедры

«26» ____июня___ 2014 г., протокол № 20

 

 

Лекция № 4. Тема 2. Методы моделирования случайных величин и процессов.

Основные методы моделирования случайных величин (с.в.) на ПЭВМ .

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды E статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды E, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования:

1) Для изучения стохастических систем;

2) Для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализаций моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценивать некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость.

Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции  случайной величины  и любого K>0 выполняется неравенство

В частности, если  и  ( где - среднее арифметическое, - среднее квадратическое отклонение), то

Теорема Бернулли. Если проводиться N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью p, то относительная частота появления события m/N при  сходится по вероятности к p, т.е. при любом .

где m- число положительных исходов испытания.

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события A в i-м испытании равна p_i, то относительная частота появления события m/n при  сходится по вероятности к среднему и вероятностей p_i, т.е. при любом

Обобщённая теорема Чебышева. Если проводится N независимых испытаний наблюдаются значения x₁,…,x_n случайной величины , то при  среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию a, т.е. при любом

(*)

       Теорема Маркова. Выражение (*) справедливо и для зависимых случайных величин ξ₁,…,ξ_N, если только

.

       Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.

Центральная предельная теорема. Если - независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие математическое ожидание a и дисперсию , то при  закон распределения суммы  неограниченно приближается к нормальному:

 

Здесь Интеграл вероятностей

Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие A появляется с вероятностью p, то

, где m-число появления события A в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

       Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Таким образом, подход при использовании статистического моделирования независимо от природы объекта исследования (будет ли он детерминированным или стохастическим) является общим. Причем при статистическом моделировании детерминированных систем необходимо предварительно построить стохастическую систему, выходные характеристики которой позволяют оценить искомые.