Определенный интеграл. Определение и геометрический смысл.
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ΘR при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е. Геометрический смысл Определённый интеграл как площадь фигуры Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).
24.Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке Для любых a, b и c Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A
Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке. Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a Теорема .Если f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], то существует такая точка , что В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f(x) на промежутке [a, b]. Составим для f(x) какую-нибудь интегральную сумму Так как при всех k будет m ≤ f(ξk) ≤ M, а xk+1 > xk, то m(xk+1 - xk) ≤ M(xk+1 - xk). Складывая такие неравенства и замечая, что получим: m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a). Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству Таким образом, частное есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [a, b] обязательно существует такая точка ξ, что h = f(ξ), а это равносильно равенству
25.Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .
26.Формула Ньютона-Лейбица. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то Замена переменной. Пусть функция определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке , , функция непрерывна на отрезке [a, b].Тогда
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |