Непрерывность функции.Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства бесконечно малых
2.Свойсва конечных пределов. Теорема 2.8 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе : Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен сумме пределов слагаемых: Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина -- бесконечно малая; равенство -- что -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что ; это и требовалось доказать. Теорема 2.9 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе : Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей: Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина -- бесконечно малая; равенство -- что -- бесконечно малая. Поэтому и , откуда или Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4 ; это и требовалось доказать.
3.Первый и второй замечательный предел. Доказательства
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: (1) (где SsectOKA — площадь сектора OKA) (из : | LA | = tgx)Подставляя в (1), получим: Так как при Умножаем на sinx: Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. 2 предел. Непрерывность функции.Точки разрыва функции и их классификация. Определение 3.1 Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть
Точки разрыва. Точках=а наз точкой разрыва если в точке а эта фукция не определена либо определена но нарушено условие непрерывности. 1.точка устранимого разрыва. f(a-0)=f(a+0)≠f(a) 2.точка разрыва первого рода. f(a-0)≠f(a+0) 3.точка разрыва второго рода. Если в точке функция не имеет по крайне мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности. 5.Определение производной и её геометрический смысл. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует, Геометрический смысл. Если функция имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число f'(x0) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой. 6 Уравнения касательной и нормали (с выводом). Касатаельной к графику ф-ции в точке Х0 является предельное положение секущей , при условии, что М->М0 k=tgβ; tgα= lim tgβ=lim AM/AM0= lim ∆y/∆x= y’(x0) ∆x->0 ∆x->0 ∆x->0 y’(x0)=tgα y-y0=k(x-x0) - уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным коэффициентом k=tgα=f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) y=f(x) уравнение касательной: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)+(f(x0)-f’(x0)x0)
Нормалью к графику функции y=f(x) в точке х0 называется прямая ⊥ касательной, проходящей через точку х0 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой : (l1⊥l2)<=>(k1= -1/k2) kn=1/f'(x0); a)f'(x0)≠0, б) f’(x0)=0 Уравнения нормали: а)y-f(x0)= (-1/f’(x0))*(x-x0);б)y=x0 y=(-1/f'(x0))+f(x0)+ x0/f'(x0)
7. таблица производных
Вывод производных следующих функций: .!!!!!!!
9. Определение дифференцируемости ф.Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде , где А – некоторая константа. , где .Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем . Теорема 4.1 Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке . Тогда непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке . Доказательство. Из существования производной следует, что откуда что и означает непрерывность функции в точке .
10.Определение дифференцируемости ф.Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке представимо в виде , где А – некоторая константа. , где .Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем .
Для того чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в точке x=x0, необходимо и достаточно существования в этой точке конечной производной f`(x0). При этом дельтаy = f`(x0)*deltax+alfa(deltax)*deltax
11.Дифференциал функции.Инвариантность формы дифф. Первого порядка. Дифференциал -- это главная, линейная по , часть приращения функции. Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в точке х, а ф-ция х=fi(u) некоторой независимой перменной u дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда справедливо равенство: dy=f`(x)dx=f`(u)du 12.Свойства функций непрерывных на отрезке.Теоремы Ролля и Лагранжа. (1)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C. (2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (3)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0. (4)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b). Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Теорема Лагранжа. утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что .Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.
13.Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0 ∞/∞. Условия: или ; g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a; в проколотой окрестности a; существует , тогда существует .Пределы также могут быть односторонними.
14.Теорема о производной сложной функции. Пусть - функция, дифференцируемая в точке , - функция, дифференцируемая в точке , причем . Тогда - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке и ее производная в этой точке вычисляется по формуле
15.Монотонность функции на промежутке. Необходимые и достаточные условия. Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Необходимое условие. Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда Достаточное условие. Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда если то f строго возрастает на (a,b); если то f строго убывает на (a,b).
16.Экстремумы функций.Необходимые и достаточные условия. Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Необходимое условие. Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль. Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)<f(x0), т.е. Но тогда Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f '(x0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f'(x0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f'(x0) ≤ 0. Так как f '(x0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x0) = 0. Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль. Достаточное условие. Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, если
Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x0 f '(x)>0 для x< x0, f '(x)<0 для x> x0. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x0) = f '(c)(x- x0), где c лежит между x и x0.
f(x) - f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).
Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x0 f(x) < f(x0). А это значит, что в точке x0 функция имеет максимум.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (290)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |