Постановка задачи глобальной полиномиальной интерполяции. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Многочлен Лагранжа. Пограшность интерполяции.

 Пусть на отрезке [a,b] задана функция ƒ(x). Задача интерполяции (или интерполирования) состоит в построении функции g(x), совпадающей с заданной ƒ(x) в некотором наборе точек {x₁,x₂,...,x_n+1} из отрезка [a,b](эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия:

g(x_k)=y_k, k=1,2,...,n+1,

где y_k - известные значения функции ƒ(x) в точках x_k. Функция g(x) называется интерполянтом функции ƒ(x).

Известно, что система Ac=f однозначно разрешима когда det(A)≠0

 Определителем матрицы A является определитель Ван-дер-Монда не равный нулю в силу условия xi≠xj при i≠j. Таким образом, коэффициенты c₀ , ..., c_N находятся однозначно. Следовательно, интерполяционный полином существует и единствен.

Многочлен Лагранжа:

Оценка погрешности интерполяции

Пусть функция определена на заданном отрезке . Известны значения функции в отдельных точках ( ) этого отрезка. По таблице функции построен интерполяционный многочлен . Используем его в качестве приближения для функции на отрезке . Тогда точное значение функции f в точке x будет равно , а в качестве приближенного значения функции f в точкеx мы получим . Абсолютная погрешность этого приближенного значения функции равна . Ее называют также абсолютной погрешностью интерполяции. Будем искать оценку абсолютной погрешности интерполяции.

17. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными и разделенными разностями.

Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями. Пусть функция задана таблицей точек с постоянным шагом  (т.е. ). В этом случае вводится безразмерная переменная:

,

а многочлен Ньютона записывается в виде

18. Постановка задачи численного дифференцирования. Левая, правая и центральная разностные производные (1-ого порядка). Вторая разностная производная.

Постановка задачи: Пусть на отрезке [a, b] в узлах одномерной сетки

 h_x ={x_i / x_i = x_i–1 + h_i, h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

заданы y_i = f(x_i), i = 0, 1, 2, …, n – значения дифференцируемой на этом отрезке функции f(x).

Пусть w_h = {x_i = ih} – сетка с шагом h на отрезке 0 ≤ x ≤ 1. Рассмотрим производную f′(x). Заменить ее разностным выражением можно бесчисленным множеством способов.

Простейшими являются замены

(2.1)

19.Постановка задачи численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их оценки погрешностей.

Постановка задачи: Требуется найти значение определенного интеграла для некоторой заданной на отрезка [a, b] функции f(x). Для некоторых функций значение интеграла можно найти точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти только приближенно, используя тот или иной способ численного интегрирования.

Численное интегрирование основано на замене интеграла суммой вида .

Такая замена следует из определения интеграла как предела суммы

.

Зафиксировав n, мы получим предыдущую сумму.