Представление чисел в различных системах счисления.

Практическое задание №2 включает в себя 6 задач

1, 2 - Задачи на системы счисления, используемые для работы над

числами в ЭВМ, арифметические операции и формы представления чисел. Исходные данные к задачам в таблицах 2, 3.

3 – Задачи на кодирование чисел, операции над числами в различных системах счисления

4 - Схемы логических элементов, составление логических схем комбинационных цифровых устройств ЭВМ , решение задач анализа и синтеза логических устройств.

5 - Анализ работы и построение временных диаграмм цифровых устройств - триггеров.

6 - Схемы и принцип работы типовых узлов цифровой техники: регистров, счётчиков, АЦП/ЦАП, и т.д.

Номер Вашего варианта совпадает с номером в учебном журнале.

 

 

Краткие теоретические сведения

Логической схемой называется совокупность логических электронных элементов, соединенных между собой таким образом, чтобы выполнялся заданный закон функционирования схемы, иначе говоря, — выполнялась заданная логическая функция.

 По зависимости выходного сигнала от входного все электронные логические схемы можно условно разбить на:

комбинационные схемы, выходной сигнал которых зависит только от состояния входных сигналов в каждый момент времени; накапливающие схемы (схемы последовательные), содержащие накапливающие схемы (элементы с памятью), выходной сигнал которых зависит как от входных сигналов, так и от состояния схемы в предыдущие моменты времени.

 По количеству входов и выходов схемы бывают: с одним входом и одним выходом, с несколькими входами и одним выходом, с одним входом и несколькими выходами, с несколькими входами и выходами.

По способу осуществления синхронизации схемы бывают с внешней синхронизацией (синхронные автоматы), с внутренней синхронизацией (асинхронные автоматы являются их частным случаем).

Практически любой компьютер состоит из комбинации схем первого и второго рода разной сложности. Таким образом, основой любого цифрового автомата, обрабатывающего цифровую информацию, являются электронные элементы двух типов: логические или комбинационные и запоминающие.

Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровой информацией, а запоминающие служат для ее хранения. Как известно, логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входной цифровой информации в выходную.

Можно считать, что элементарные логические функции являются логическими операторами упомянутых электронных элементов, т.е. схем. Каждая такая схема обозначается определенным графическим символом. (Элементы И, ИЛИ, НЕ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ). В этом случае говорят, что этот набор образует базис.
         

Функционально полными являются 3 простейших базиса: 1. «И-ИЛИ-НЕ» 2. «И-НЕ» 3. «ИЛИ-НЕ», с помощью которых можно записать любую, сколь угодно сложную функцию.

 

 

 

Представление чисел в различных системах счисления.

Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позицион­ные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последователь­ностью цифр (цифр разрядов): … a₅ a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ …

Здесь a₀, a₁, . . . обозначают цифры нулевого, первого и других разрядов числа.

Цифре разряда приписан вес p^k где р— основание системы счисления; k— номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:

N = …+ a₅×p⁵ + a₄×p⁴ + a₃×p³ + a₂×p² + a₁×p¹ + a₀×p⁰ + …

Для представления цифр разрядов используется набор из pразличных символов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2 ….. 9. При этом запись 729324₁₀ (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:

.

Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.

В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1.

Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 1011101₂ соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:

.

В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2,…,7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи 735460₈ в десятичной системе счисления соответствует следующее число:

,

т. е. запись 735460₈ означает число, содержащее семь раз по 8⁵ = 32768, три раза по 8⁴ = 4096, пять раз по 8³ = 512, четыре раза по 8² = 64, шесть раз по 8¹ = 8 и ноль раз по 8⁰=1.

В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1,2…..9, А, В, С, D, Е, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствует 10, В – 11, С – 12, D – 13, Е – 14, F – 15.

Запись AB9C2F₁₆ соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

,

Для хранения n-разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройст­ва, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут исполь­зоваться устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.

Таблица 1.

Десятичная, основание 10 (Dec)	Римская	Двоичная, основание 2 (Bin)	Восьмеричная, основание 8 (Oct)	Двоичная (триады)	Шестнадцатеричная, основание 16 (Hex)	Двоичная (тетрады)
0		0	0	000	0	0000
1	I	1	1	001	1	0001
2	II	10	2	010	2	0010
3	III	11	3	011	3	0011
4	IV	100	4	100	4	0100
5	V	101	5	101	5	0101
6	VI	110	6	110	6	0110
7	VII	111	7	111	7	0111
8	VIII	1000	10	001 000	8	1000
9	IX	1001	11	001 001	9	1001
10	X	1010	12	001 010	A	1010
11	XI	1011	13	001 011	B	1011
12	XII	1100	14	001 100	C	1100
13	XIII	1101	15	001 101	D	1101
14	XIV	1110	16	001 110	E	1110
15	XV	1111	17	001 111	F	1111
16	XVI	10000	20	010 000	10	0001 0000
17	XVII	10001	21	010 001	11	0001 0001

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно удобно осуществлять через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами такие же, как и в десятичной системе, и задаются таблицами двоичного сложения, вычитания и умножения (табл. 2).

Арифметические действия над двоичными числами. Таблица 2.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1

При сложении двоичных чисел производится сложение цифр слагаемых в каждом разряде и единиц переноса из соседнего младшего разряда, если они имеются. При этом необходимо учитывать, что в двоичной системе переполнение разряда наступает при количестве единиц, больше либо равным двум. В случае переполнения нужно вычесть из текущего разряда число, равное основанию системы (в данном случае – двойку), и добавить единицу переноса в следующий старший разряд.

При вычитании двоичных чисел, аналогично вычитанию десятичных, может возникнуть необходимость займа единицы из предыдущего старшего разряда. Эта занимаемая единица переносится в текущий разряд как двойка (количество единиц, равное основанию).

Операции умножения и деления в двоичной системе счисления аппаратно реализовать проще, чем в десятичной системе. Их выполнение сводится к операциям сложения (вычитания) и сдвигу.

           

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Задача № 1. Задачи на системы счисления, используемые для работы над числами в ЭВМ, арифметические операции и формы представления чисел.

Число а = 17 ₁₀ перевести в двоичную систему счисления, а затем в шестнадцатеричную.

Решение:

 Для перевода числа из десятичной СС в любую СС, необходимо делить число на основание СС до тех пор, пока остаток от деления не будет принадлежать СС. В данном случае мы будем делить на 2 до тех пор, пока в остатке не будет 0 или 1 (цифры, принадлежащие двоичной СС).
19/2=9 – остаток 1
9/2=4 – остаток 1
4/2=2 – остаток 0
2/2=1 – остаток 0 и цифра 1 принадлежит двоичной СС, поэтому деление на 2 больше не производим. Записывается число снизу вверх – 10011₂.

Произведем проверку на правильность перевода:

10011₂ = 2⁴ * 1 + 2³ * 0 + 2² * 0 +2¹ * 1 + 2⁰ * 1 = 16 + 0 + 0 +2 + 1 = 19₁₀. Перевод произведен - верно.

Перевод из двоичной СС в шестнадцатеричную СС осуществляется разбиением двоичного числа на тетрады (по 4 разряда справа налево). Каждая тетрада заменяется эквивалентом шестнадцатеричной СС (таблица эквивалента цифр десятичной системы счисления в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведена в приложении 1).   10011₂ = 13₁₆ . 

Ответ: 19₁₀ = 10011₂ = 13₁₆ .

 

 

Задача № 2.

 

а) Сложить два числа А = 01110, В = 01001
Решение:

 

Для сложения воспользуемся правилами двоичной арифметики:
0+0=0
0+1=1
1+1=0 и «1» переносится в старший разряд числа.
 Поэтому при сложении А+В, получаем:

 

 

       Для вычитания чисел принцип аналогичен, только происходит заем из старшего разряда при вычитании 1 из 0.

 

Ответ: 10111₂ .

 

Задача № 3.

Синтезировать заданную логическую схему

Упростить выражение: X = (a*b + b*c +c)*b + (a*c + a*b)*c и составить схему на элементах И-НЕ.

 

Решение:
Воспользуемся правилами алгебры логики: A * A = A; A +A = A; A + 1 = 1; А * 1= А; А + 0 = А; А * 0 = 0

X = a*b +b*c +b*c + a*c +a*b*c = a*b + b*c + a*c + a*b*c = =a*b*(c +1) + b*c + a*c
    Для реализации полученной логической функции потребуется три двухвходовых элемента И и трёхвходовой a*b + b*c + a*c и элемент ИЛИ. Так как схему необходимо составить с использованием только элементов И-НЕ, воспользуемся правилом Де Моргана:

     По итоговой формуле построим схему на логических элементах. Схема, соответствующая полученному выражению, приведена рисунок 1.

Ответ:

 

 

Задача №4.

По заданной схеме определите логическую функцию.

В качестве примера ниже представлена несколько схем электрических функциональных логических преобразователей (комбинационных автоматов), реализующих логические функции

Пример.1 Построить заданную логическую функцию в трёх функционально полных базисах из логических элементов И, ИЛИ, НЕ.

 

Ответ: Функция имеет вид:

Пример.2 Для базиса И, НЕ.

Ответ:

Задача № 5

По заданным входным сигналам триггеров составить таблицы состояний и временные диаграммы (сигнал на выходе Q) Исходное состояние триггера 0 . Привести схему триггера и объяснить его работу.

·  однотактного несинхронизируемого (Q₁)

• однотактного синхронизируемого (Q₂)
• двухтактного (Q₃)

Решение:

Переключение асинхронного триггера происходит в моменты поступления импульсов на установочные входы S и R. Выход Q будет равен соответственно 1, либо 0. Синхронизируемый однотактный триггер переключается в момент прихода синхроимпульса С при наличии сигнала на входе S (Q₂ = 1) или R (Q₂ = 0). Двухтактный триггер переключается после окончания действия синхроимпульса. Временные диаграммы, отражающие состояние выхода Q для асинхронного триггера показаны на рисунке 3).

 

ЗАДАНИЕ К РАБОТЕ №2

ЗАДАЧА№1: Задачи на системы счисления, используемые для работы над числами в ЭВМ, арифметические операции и формы представления чисел. Решите примеры выданного вам варианта задания.

 

Вариант 1

 

1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 245₁₀  

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 1011100111₂   

 Перевод двоичного числа в восьмеричную систему

3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 144₈    

Перевод двоичного числа в шестнадцатеричную систему

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9AF₁₆ 

 

Вариант 2

 

1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 247₁₀   

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 1011101001₂    

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 146₈    

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9B1₁₆  

 

Вариант 3

 

1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 249₁₀   

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 1011101011₂   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 150₈    

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9B3₁₆  

 

Вариант 4

 1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 251₁₀  

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 1011101101₂   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 152₈   

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9B5₁₆ 

 

 Вариант 5

 

1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 253₁₀ 

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 1011101111₂    

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 154₈    

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9B71₆ 

 

 

Вариант 6

 1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 255₁₀   

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 1011110001₂   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 156₈  

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9B9₁₆  

 

Вариант 7

 

1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 49₁₀   

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 10111010₂   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 150₈   

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 12B3₁₆

 

 Вариант 8

 1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 251₁₀  

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 101110110₂   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 112₈   

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 12B5₁₆  

 

 Вариант 9

 1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 253₁₀ 

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 101 01111₂   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 154₈   

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 14B7₁₆ 

 

Вариант 10

 1) Перевести десятичное число в в 2-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 25510  

 2) Перевести двоичное число в 10-ую, 8-ую и 16-ую системы счисления: а) 10111100012   

 3) Перевести восьмеричное число в 2-ую, 10-ую и 16 –ую системы счисления: а) 1568  

 4) Перевести шестнадцатеричное число в 2-ую, 8-ую и 10-ую системы счисления: а) 9B916 

 

Отчет содержит: Название и цель практической работы Решение примеров по выбранному варианту с пояснениями выполняемых действий.

 

Контрольные вопросы по разделу: 1) Чем отличаются позиционные и непозиционные системы счисления? 2) Как рассчитывается вес позиции? 3) Как связаны основание системы счисления и количество цифр в системе счисления?

Задача № 2. Синтезировать логическую схему, реализующую следующие логические функции:

Вариант 1
1. Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, ИЛИ, НЕ.

1
2
3
4
5	Вариант 2 1. Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, ИЛИ, НЕ.
	1.
	2.
	3.   4.   5.

Вариант 3

 Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, НЕ.

 

1
2
3
4   5.	Вариант 4  Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, НЕ.
1.
2.
3.
4.
5.

Вариант 5
 Реализуйте заданную логическую функцию в базисе ИЛИ , НЕ

 

1
2
3
4
5
1.	Вариант6  Реализуйте заданную логическую функцию в базисе ИЛИ , НЕ
2.
3
4.
5.	Вариант 7  Реализуйте заданную логическую функцию в базисе ИЛИ, НЕ 1. 2. 3.
	4.   5.   Вариант 8  Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, ИЛИ, НЕ
		1. 2. 3. 4. 5.

Вариант 9
 Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, ИЛИ, НЕ

 

 

Вариант 10
 Реализуйте заданную логическую функцию в базисе И, ИЛИ, НЕ

 

1.

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

Задача № 3 .   

По заданной схеме определите и запишите уравнение логической функции.

Вариант1.
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8

Вариант 9.

 

Вариант 10.

 

Задача № 4

По заданным входным сигналам триггеров составить таблицы состояний и временные диаграммы (сигнал на выходе Q), дать необходимые пояснения. Исходное состояние триггера 0 . Привести схему триггера и объяснить его работу. 

 

Вариант 1

 

Вариант 2

Вариант 3

 

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 8

                          

Вариант 9

       

Вариант 10

ЗАДАЧА № 5

Ответьте письменно на все вопросы и выполните задания

 

1. Двоичный счётчик. Нарисовать схему, объяснить принцип работы счетчика последовательного действия. Построить временную диаграмму, отражающую работу 4-х разрядного счетчика.

2. Двоичный счётчик, параметры, классификация счетчиков .Схема, принцип работы счетчика параллельного действия. Построить временную диаграмму, отражающую работу 3-х разрядного счетчика.

3. Двоичный реверсивный счётчик с модулем счёта к = 16 находился в состоянии 1101₂, после чего на него было подано N₊ = 130 импульсов в режиме суммирования и N_- = 92 импульса в режиме вычитания. В каком состоянии окажется счётчик? Описать работу реверсивного счетчика.

4. Реверсивный десятичный счётчик находился в состоянии N⁰ = 1011₂, после чего на него были поданы N₊ = 200 импульсов в режиме суммирования и N_- = 150 импульсов в режиме вычитания. Определить конечное состояние счётчика. Описать работу реверсивного счетчика.

5. Классификация дешифраторов, шифраторов. Назначение, схемы, принцип работы. Составить схему дешифратора на три входа.

6. Мультиплексоры и демультиплексоры. Классификация. Назначение, схемы, принцип работы. Составить схему мультиплексора на логических элементах.

7. Сумматоры и полусумматоры. Назначение, схемы, принцип работы.

8. Сумматоры последовательного и параллельного действия. Схемы, принцип работы.

9. Принцип работы асинхронного RS-триггера.

10. Принцип работы регистра параллельного действия, структурная схема.

11. Принцип работы регистра последовательного действия (регистр сдвига), структурная схема.

12. Построить временную диаграмму, отражающую работу4-ти разрядного регистра сдвига, если он хранит число равное (последние две цифры в зачетке) ₁₀. Пояснить временную диаграмму.

13. Назначение, характеристики АЦП. Привести схему АЦП, объяснить принцип работы.

14. Назначение, характеристики ЦАП. Привести схему ЦАП, объяснить принцип работы.

15.   Рассчитать время преобразования 10-ти разрядного АЦП последовательного приближения при частоте тактового генератора f (f в МГц равно последние две цифры в зачетке)  .