Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Математический факультет

Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

 

Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.

Научный руководитель: д. ф. – м. н. Аганин А. А.

 

Казань – 2007

 

Содержание

 

Введение

Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

Математическая модель взаимодействия пузырьков

Методика решения

Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Заключение

Литература

Приложение. (Программа расчета).

Введение

 

К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.

В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки – осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем – сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т.д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т.д. степеней – отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени – эллипсоидальные отклонения, третьей – грушеобразные и т.д.).

Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.

Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

 

Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями

, .      (1)

Здесь – время эйлеровых (неподвижных) систем координат , ,  (нижний индекс  означает частную производную), – вектор скорости, – плотность жидкости, – давление, , , , –направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).

Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси  неподвижной декартовой системы координат  (рис.1).

На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:

кинематическое

,                                      (2)

и динамическое

.                                                (3)

Здесь – скорость точки поверхности пузырька, – нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (–) сторонам поверхности.

    Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)

,                    (4)

где – начальное давление газа в пузырьке, – текущий и начальный объемы пузырька, – постоянная, – показатель адиабаты.

На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости  совершает гармонические колебания

,                               (5)

где – статическое давление в жидкости, , – амплитуда и частота колебаний.

Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.