Математическая модель взаимодействия пузырьков
В пятом приближении относительно уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков , координат их центров ; ; ; ; Методика решения
Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка: Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. ; ( )/ ; / ; / ; / ; / ; / ; ; ( )/ ; ( )/ ; ( )/ ; / ; / ; ( )/ ; ; / ; 0; ( )/ ; ( )/ ; / ; ( )/ ; ; / ; 0; ( )/ ; ( )/ ; / ; ( )/ ; Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде: Решим уравнение методом последовательных приближений. В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков. Подставляя выражения, находим уравнения нулевого приближения:
В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.
Исходя из этого, можем записать следующую систему: Полученные дифференциальные уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).
Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]). 1. С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения: ; ;
Решение для нулевого приближения для одного пузырька ; Вводим замены: ; ; ;; = = ; - начальное давление газа в пузырьке; ; -давление газа в пузырьке.
А - константа Ван-дер-Ваальса; - коэффициент поверхностного натяжения; - давление газа в пузырьке; - статическое давление в жидкости; - Начальный радиус пузырька; R - Радиус пузырька; - Центр пузырька; u - Вектор скорости жидкости; -давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где - амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ( ).
- Плотность жидкости; - Скорость звука в жидкости; - Кинематический коэффициент вязкости - расстояние между пузырьками.
; ; Обозначим слагаемые и сомножители через: , , , , : ; ; ; ; ; ; ; Добавляем второе уравнение: =0 => ; ;
Добавляем уравнение второго пузырька ; ; ; ; = = ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; Добавляем второе уравнение: =0 => ; ;
Решение для первого приближения одного пузырька
; ;
; ; ( ); ;
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (157)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |