Арифметика и алгебра – формально-логичны, теория пределов и математический анализ – диалектичны.

Что такое математика?

Математики тоже, бывает, ошибаются! Например, А.В. Савватеев в ролике  «2015_10_28 - 19-я и 20-я лекция д. ф.-м.н. А. В. Савватеева ч. 7/8»[5] ошибся при расчёте цепной дроби. (Timecode: 4:20). Не ошибается тот, кто ничего не делает. Одним из родоначальников этой теории был Христиан Гюйгенс, который первый использовал подходящие дроби как аппарат наилучших приближений к заданному числу. Значительное развитие теория цепных дробей получила в трудах Леонардо Эйлера. Общие законы разложения иррациональных вещественных чисел в бесконечные цепные дроби неизвестны[6].

Для того, чтобы конкретно говорить о фундаментальных проблемах математики необходимо дать синтетическое определение её понятия, опираясь на определения классиков.

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт^[9]:

«К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики».

В советское время классическим считалось определение из БСЭ^[10], данное А. Н. Колмогоровым:

«Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира».

Это определение Ф.Энгельса; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Формулировка Бурбаки^[12]:

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным^[7].

Арифметика и алгебра – формально-логичны, теория пределов и математический анализ – диалектичны.

Как известно, именно математические вычисления обеспечивают работу существующих техник и технологий. Универсальность математики обусловлена тем, что материя как атрибут конечности может быть разложена на любые конечные количества и что эти конечные множества могут описывать любые свойства. Согласно мнению математика Дмитрия Ковалёва[8], развитие любого объекта можно описать посредством дифференциального уравнения.

Впервые закон тождества сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом: «…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет (определенных) значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить (каждый раз) что-нибудь одно[9]»

С той или иной долей условности данный закон записывается: А есть А. Можно продолжить и сказать, что А есть А, и не есть не А. Вещь, мысль, эмоция, предмет есть именно они, а не другое.

Логика находится на стыке математики и философии, гуманитарных и точных наук. Между математикой, логикой и «научной» философией идёт своего рода конкуренция за право быть «Царицей наук», универсальным методом познания.

Закон тождества применяется в классической науке, то есть в формальной логике, однако, этот же закон нарушается в философии, а именно посредством диалектики. Согласно диалектическому умозаключению: «Бытие есть чистое ничто, а ничто есть чистое бытие[10]». То есть на языке формальной логике, А есть Б, а Б есть А – налицо прямое нарушение классического закона. Так или иначе, в науке применяется так называемый диалектический метод. Его много критиковали и высмеивали, но факт наличия философского метода диалектического и исторического материализма отрицать не приходится.

Как выясняется при поверхностном анализе разным разделам математики присущи как формально-логический метод, так и диалектический. Закон полного тождества работает в области арифметики и алгебры. В самом деле, математическое равенство рассматривается как вид эквивалентности, равнозначно в сфере простых числовых отношений (то есть арифметики) логическому тождеству. 5 = 5 во многом, но не во всём эквивалентно выражению А есть А. О различии тождества и равенства попытаемся поговорить, когда будем говорить собственно о структуре трансцендентности числа π.

Собственно, диалектический метод свойственен главному фундаментальному концепту математического анализа – понятию предела.

В книге Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика[11]?» авторы апеллируют к диалектическим апориям Зенона, объясняя понятие предела[12].  Б.С. Бояршинов использует апорию «Ахиллес и Черепаха»[13] для демонстрации сущности предела. Скорость Ахиллеса быстрее скорости черепахи в 10 раз. В то время как черепаха проползает 10 метров, Ахиллес пробегает 100 метров. То есть в момент, когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха будет находится на 110 метров от места старта Ахиллеса. Пробежав 10 метров Ахиллес, черепаха отдалится на 1 метр и будет на 111 метров от места старта «забега» Ахиллеса, а всего проползёт 11 метров. Таким образом, предел бесконечной суммы будет равен 111,11111111111111…n метра в десятичной записи.

100

100 + 10 = 110

110 + 1 = 111

111 + 0,1 = 111,1

111,1 + 0,01 = 111,11

111,11 + 0,001 = 111,111

Либо,  метра в записи посредством обыкновенных дробей. Так как  в десятичной записи как раз и равняется 0,1111111111…n.

       Примерно такие же рассуждения давал Ж.П. Сартр в книге «Бытие и ничто» рассматривая апории Зенона, на примере апории со стрелой[14].

В первом случае мы видим бесконечный предел бесконечной суммы, во втором конечную сумму бесконечных частей, записанную посредством обыкновенной, а не десятичной дроби.

Подтверждает диалектичность в форме софистики бесконечно малые числа и классик логики математик Б. Рассел в своём труде «Логический атомизм»: «Казалось, что наилучший шанс обнаружить бесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из аксиом Евклида были, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог справиться сам»[15].

Два типа записи выражают здесь два логико-гносеологических подхода. Если обыкновенная дробь здесь выражает абсолютно тождественный, равный самому себе конечный предел, то десятичная дробь выражает неравный самому себе бесконечный предел. Мы видим в такой двойной записи соединение формально-логического закона тождества и диалектического закона единства тождества, и различия. Этот горизонтальный и вертикальные методы познания конституируются в универсальном понятии математической функции, которая описывает качества, количества и меры.

«Самый термин „функция" (functio), как и целый ряд других терминов, получивших господство в нынешней математике, создан впервые Лейбницем. Этим термином Лейбниц обозначает абсциссу, ординату, касательную, подкасательную, радиуй кривизны и всевозможные другие отрезки („et alias inn limeras"), связанные с определенной точкой на кривой так, что между каждыми двумя из них существует некая зависимость[16]. И Лейбниц остается, таким образом, в круге чисто геометрических представлений.

Определение функции, свободное от всяких геометрических образов, дал впервые учитель Эйлера Ив. Бернулли[17] при решении изопериметрической задачи: „Функцией  переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Этот отход от геометрических образов был началом новой эпохи в изучении функций; недаром это новое определение привело в восхищение Лейбница[18].»

Учитывая то, что предел является фундаментальным концептом, который определяет весь математический анализ, интегральное и дифференциальное исчисления, мы не можем не отметить, что связь апории и пределов предельно важна не только в математическом нарративе, но и в универсальной теории познания в целом.

Собственно, авторы книги «Что такое математика?» не скрывают факт наличия диалектики в математике: «Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Её основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки[19]».

«Историко-философски объективно» математика и диалектика примирились в теореме о неполноте К. Гёделя, с чем соглашается Ж. Лиотар «Математическое исследование, закончившееся теорией Гёделя, служит настоящей парадигмой такого изменения природы знания. Но не менее показательна в аспекте нового научного духа трансформация динамики.»[20] После этого примирения закончилась фундаментальные математические искания, а также философские. Остались нерешённые математические проблемы, и, возможно они будут решены, но это вряд ли отразится на принципиальном взаимодействии философии и математики. Именно к этому выводу пришли философ Руднев Вадим Петрович — семиотик, лингвист и философ, доктор филологических наук. Аронсон Олег Владимирович в программе «Гордон», посвященную Л. Витгенштейну[21].

По большому счёту и С.Я. Лурье в предисловии к книге Л. Эйлера «Введение в анализ бесконечно малых» говорит о том, что Г. Лейбниц определяет бесконечно малые достаточно «формально-логично» наивно:

«Однако до 1748 г. Эйлер не был столь последователен в этом вопросе: будучи воспитан в духе школы Бернулли, он только постепенно и с трудом освобождался от лейбницианских концепций 2) Следы этого лейбницианства можно заметить в § 114 нашей книги, где бесконечно малое определяется как «столь малая дробь, что она только-только и равна нулю»»[22]. То есть диалектически одновременно равна и неравна, можно говорить об гуманитарной эквивалентности примерно такого рода: также как фотон одновременно и частица и волна (есть материя, нет материи).