Модифицированное дискретное преобразование Лапласа

 

После временного квантования непрерывного сигнала на выходе импульсного элемента получим дискретную функцию, соответствующую решетчатой функции, которая представляет значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени срабатывания импульсного элемента.

Заданному непрерывному сигналу соответствует одна решетчатая функция, а значит и одна дискретная функция. Обратная задача неоднозначна, т.е. дискретной функции соответствует бесконечное множество непрерывных функций (рис.2а).

Чтобы получить промежуточные значения решетчатой функции, а значит и непрерывного сигнала, необходимо заставить срабатывать ИЭ с запаздыванием (опережением). Величина сдвига должна изменяться в пределах такта. Если время сдвига обозначить eТ, то 0 £ e £ 1.

Если e = 0 сдвиг отсутствует, если e = 1 сдвиг на 1 такт.

Направление сдвига безразлично условимся сдвигать в сторону опе-режения. Сдвигать можно как решетчатую функцию, так и момент сра-батывания ИЭ. В соответствии с теоремой сдвига, сдвигу в области оригиналов соответствует умножение на e ^±pT в области изображений.

 

 (9)

При этом: x* (t) Þx* (t, e); x [nT] Þx [nT, e] ;

x (p) Þ x (p, e ) =x (p) e^{pT e} ; x (z) Þ x (z, e ).

На схеме это можно обозначить следующим образом (рис.2б)

 

x(t)

а)                                                б)

Рис. 2

 

Формулы обычного дискретного преобразования Лапласа и соответствующие им формулы модифицированного дискретного преобразования имеют вид

 

Формулы, использующие вычеты

 

Применение метода модифицированного z -преобразования для анализа дискретных систем управления аналогично применению обычного преобразования Лапласа для непрерывных систем.

Пример 6. Определить модифицированное дискретное преобразование Лапласа - x^* (p, e), если x (t) = e^{- at}.

Решение: Функции x (t) = e^{- at} соответствует изображение

Рассмотрим решение с использованием формулы (4).

 

Если то

 

При этом модифицированное преобразование имеет вид

 

 

Рассмотрим решение с использованием третьей формулы (8).

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность

 

s + a = 0, s₁ = - a, n = 1, m = 1.

 

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах

 

Литература

 

1. Вандер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. - М., ИЛ, 1952

2. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред.А. А. Красовского - М.: Наука, 1987. - 712с.

3. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. - М., Наука, 1980. - 336 с.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М, Физматгиз, 1974. - 542 с.

5. Микусинский Я. Операторное исчисление. - М., ИЛ, 1956

6. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - 2-е. - Спб: Питер, 2006. - С.751.

7. М.А. Павлейно, В.М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. - СПб: 2007. - С.160.