Случай на Брогемском мосту

Уильям Роуан Гамильтон

 

Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 1824 г. опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, в 1828 г. получил звание королевского астронома Ирландии.

К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механики. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

В течение долгих десяти лет Гамильтон безуспешно пытался придумать правило умножения триплетов.

 

 

Векторное произведение

 

Задача поначалу казалась несложной. Складывать векторы следовало по формуле (3). Оставалось найти формулу умножения, подобную формуле (2). Но Гамильтон безуспешно пытался подбирать формулы для умножения триплетов.

В то время было известно правило векторного произведения:

векторным произведением ненулевых векторов называется вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через векторы имеющий направление, определяемое правилом “правой руки”, и длину êê êê. Если для данных векторов заданы координаты в прямоугольной системе координат:

 

 

то (4)

 

Но операция векторного произведения не годилась Гамильтону, поскольку она не имеет обратной. Например, если то угол () между векторами равен нулю. Значит, длина векторного произведения равна нулю, т.е. и сам вектор нулевой.

Но несмотря на неудачи, Гамильтон пытался решить поставленную перед собой задачу. Но эта задача не могла быть решена (объяснение следует ниже). Но труд не пропал даром. В 1843 г. Гамильтон вдруг решил, что для определения умножения нужно рассматривать не триплеты (тройки чисел), а четверки, или кватернионы. Вот история их создания.                            

 

Случай на Брогемском мосту

В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k,

 

,

 

содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября”.

 

Определение кватернионов

 

Кватернионы – это четверки действительных чисел (x; y; u; v), которые удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk, где i, j, k – новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах. Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям:

 

 (5)

(6)

 

которые удобно записать в виде “таблицы умножения”.

 

                              x i j  k

 

                              i -1 k j

 

                              j -k -1 i

                              k -j -i -1

   

По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом правил (5) – (6).

Согласно этому определению, если и – два кватерниона, то

 

 (7)

 

Это, разумеется, привычное нам “покоординатное” сложение. Далее, произведение кватернионов и вычисляется так:

     

 

Длинная, но совершенно автоматическая проверка показывает, что умножение кватернионов обладает сочетательным свойством:

 

Естественно считать, что действительные и комплексные числа являются частным случаем кватернионов. Так, действительное число x – это кватернион вида

 

Комплексное число z = x + yi представляется как кватернион

 

 

       

У операции сложения кватернионов, очевидно, имеется обратная операция –вычитание. Именно, разность двух кватернионов и определяется формулой:

 

Если , то разность кватернионов – это нулевой кватернион.

 

Деление кватернионов

 

Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции умножения. Вообще, что мы понимаем под частным от деления числа a на число b, не равное нулю? Это такое число c, что

 

bc = a. (10)

 

Так определяется частное от деления для действительных и комплексных чисел. К сожалению, для кватерниона применить непосредственно это определение мы не можем. Для того чтобы формула (10) “корректно” определяла частное, нужно, чтобы произведение не зависело от порядка сомножителей. В противном случае наряду с частным определенным формулой (10), существует вполне равноправное “левое” частное” с’, определяемое формулой

 

c’b = a,

 

которое может отличаться от “правого частного” c из (10). Вот здесь, кроме необходимости выйти за пределы трехмерного пространства, Гамильтону пришлось принести еще одну жертву.

Оказывается, определенные им новые числа – кватернионы – потеряли еще одно привычное качество: произведение кватернионов зависит от порядка сомножителей. Действительно, уже в формулах (6) при изменении порядка сомножителей произведение меняет знак.

Таким образом, можно говорить лишь о “делении справа” и “делении слева”. Как реально найти, скажем, “левое частное” от деления кватерниона на кватернион ?

Обозначим искомое частное через q = x + yi + uj + vk. Тогда, используя правило умножения для кватернионов и определение левого частного, получим следующее равенство кватернионов:

 

,

 

или

 

 

Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений с переменными x, y, u, v:

 

 

Аналогичным образом находится “правое частное” от деления на .

Рассмотрим частный случай, когда делимое равно единице. В этом случае частное от деления =1 на кватернион (и “слева” и “справа”) равно одному и тому же кватерниону

 

Поэтому кватернион p обозначается через . Тогда “правое частное” от деления кватерниона на выражается формулой

 

,

 

а “левое частное” от деления кватерниона на – формулой

 

Практически частное от деления двух кватернионов ищется другим путем. Для этого нам потребуются