Простые и простейшие системы
Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции
для которой выполнены тождества (4), имеют место соотношения
Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области , содержащей гиперплоскость для которой выполнены тождества (4), существует дифференциальная система c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с . Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции
определенной в области содержащей гиперплоскость , для которой выполнены тождества (4), при всех и достаточно малых существует дифференциальная система
отражающая функция которой совпадает с а общий интеграл задается формулой
Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция
является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества (4). Системы, существование которых гарантируется теоремами 10 и 11, называются соответственно простой и простейшей. Теорема 13 Пусть
простейшая система, тогда
где – отражающая функция системы (1). Доказательство. Если система простейшая,
Теорема 14 Пусть
есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции
выполнены тождества (4). Тогда для того, чтобы в области функция совпадала с необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид
или вид
где
есть некоторая непрерывная вектор-функция. Будем говорить, что множество систем вида (1) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция
со свойствами: 1) Oтражающая функция
любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения с функцией 2) Любая система вида (1), отражающая функция
которой совпадает в области с функцией содержится в рассматриваемом множестве. Две системы вида (1), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции . Из третьего свойства отражающей функции следует, что система (1) и система
принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений
совместна. Необходимым условием совместности этой системы является тождество .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (219)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |