произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.

Институт экономики и предпринимательства

(ИНЭП)

 

 

Контрольная работа по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант 1

 

 

Выполнил:

студент группы №

 

 Проверил:

 преподаватель ИНЭП,

кандидат технических наук

Ю.М. Давыдов

 

 

 

 

г. Лосино-Петровский

2008-2009 уч. год

Цель работы

 

Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).

Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и

Множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших

Квадратов (МНК).

 

Контрольная задача № 1

 

2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).

Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:

Таблица 1

xi	32	30	36	40	41	47	56	54	60	55	61	67	69	76
yi	20	24	28	30	31	33	34	37	38	40	41	43	45	48

 

2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;

x_i1 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;

ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14  (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1  32 )        (20 )

( 1  30)        (24 )

 ( 1  36)        (28 )

 ( 1  40 )        (30 )

 (1  41 )        (31 )

 ( 1  47 )        (33)

X = (1  56)   Y = (34 )

 (1  54)       (37 )   

 (1  60 )       (38 )

 (1  55 )       (40 )

 ( 1  61 )       (41 )

 ( 1  67 )       (43)

 (1  69 )       (45 )

 ( 1  76 )       (48 )

 

Значение параметров А^ = (а₀, а₁) ^T  и s² – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х^-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х ^Т.

Получим  X^T* X * A^{^} = X ^T * Y ,

откуда A^{^} = (X^T * X ) ^–1 *( X^T * Y)  (3),

где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.

 

2.1.2.  Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

(  1 1 1  1  1  1 1 1  1  1  1 1 1 1 )

X^T = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )

в)  Находим произведение матриц X^T *X :

( 14  724 )

X^T * X = ( 724  40134)

 

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

 

 (  492 )

X^T * Y = ( 26907 )

 

д) Вычисляем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 :

 ( 1,064562  -0,0192 )

( X^T * X) ^–1 = (-0,0192 0,000371)

е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц (X^T *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁)^T :

(  7,0361 )

A^ = ( X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) =  (  0,543501).

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:

у_i^{^} = 7,0361 + 0,543501* x_i1 (4).

у_i^{^} (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646.

 

2.1.3 Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R² . Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные. 

Q = ∑(y_i - y¯)² (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Q_R = ∑(y^_i - y¯)² (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Q_е = ∑(y_i – y^_i)² (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = Q_R + Q_е (8).

Q = 847,714; Q_R = 795,453; Q_е = 52,261.

Q = Q_R + Q_е = 795,453 + 52,261 = 847,714.

R² = Q_R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

R² = 1 – Q_e / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

В нашем примере коэффициент детерминации R², очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).

 

Контрольная задача № 2

 

2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:

Х₁ – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);

Х₂ - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .

Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:

Таблица 2

I (номер района)	yi	хi 1	хi 2
1	9,7	0,32	0,14
2	8,4	0,59	0,66
3	9,3	0,3	0,31
4	9,6	0,43	0,59
5	9,6	0,39	0,16

 

2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;

х_{i 1} , х_{i 2}  – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5  (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1  0,32  0,14 )   (9,7) 

( 1  0,59 0,66 )   ( 8,4  

X = ( 1  0,3  0,31 ) Y = (9,3 )

( 1  0,43  0,59 )   (9,6)

(1  0,39  0,16 )   (9,6)

Значение параметров А^ = (а₀, а₁, а ₂ ) ^T  и s² – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^{^} применим формулу (3) задачи № 1

A^{^} = (X^T * X ) ^–1 * X^T * (3),

где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.

 

2.2.3. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

(  1 1  1  1 1 )

 X^T = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )

 ( 0,14  0,66 0,53 0,59 0,13 ).

 в)  Находим произведение матриц X^T *X :

( 5  2,11 2,05 )

X^T * X = ( 2,11  0,932  0,94 )

( 2,05 0,94  1,101).

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

(  46,6 )

X^T * Y =  ( 19,456 )

( 18,731 ).

д) Вычисляем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 :

( 5,482  - 15,244 2,808 )

( X^T * X) ^–1 = (  -15,244 50,118 -14,805 )

( 2,808 -14,805  7 ,977  ).

е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц X^T * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁, a ₂)^T :

 (  11, 556 )

A^ = (X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) = (  -5, 08  )

( 0, 0219 )

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

 

y_i^{^} = 11,456 - 5,08 * x_i1 - 0,0219 * x_i2 (4) .

 

2.2.4. Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества найденных параметров а^₀ , a^₁ .a^₂ необходимо найти оценку дисперсии по формуле

 

1

s^² = ------------ (Y – X * A^)^T * (Y – X * A^),

k – n - 1

 

после чего можно найти среднеквадратические ошибки S_L по формуле S_L = s^√h_ii , где h_ii элементы главной диагонали матрицы (X^T * X) ^–1 .

А. Произведение матриц X * A^:

 ( 9,833 )

 ( 8,472 )

Y^{^} =X * A^ = ( 9,536 )

( 9,283 )

(9,476 ).

Б. Разность  матриц ( Y - X * A^ ) :

( -0,132 )

( - 0,072 )

( Y - X * A^ ) =(-0,036  )

( 0,116  )

( 0,0835 ).

 

В. ( Y - X * A^ )^T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )

Г. Произведение ( Y - X * A^ )^T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .

С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2

1                                                         1

s^² = ------------ (Y – X * A^)^T *(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.

k – n - 1                                              2

s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .

Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:  

 

S ₀ = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;

S ₁ = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;

S ₂ = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .

 

Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

Контрольная задача № 3

 

Оценки параметров трендовой модели.

По данным о розничном товарообороте региона нужно

произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.

Таблица 3

Год	Объем розничного товарооборота, млрд. руб.	Темп роста по годам, %	Абсолютный прирост по годам, млрд. руб.
1	2	3	4
1	18,4	-	-
2	18,9	103,5	0,5
3	19,8	105,3	0,9
4	20,3	102,6	0,5
5	21,1	104,4	0,8
В среднем	19,7	103,9	0,67

 

3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а₀, а₁, а₂, а₃ , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а₂ и а₃ .

Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1,  будут иметь следующий вид:

 ( 1  1  1  1 )         (1,84E+10 )

 ( 1  2  4  8 )         ( 1,89E+10 )

 X = ( 1 3 9   27)       Y =   ( 1, 98E+10)

 ( 1 4 16 64)         (2, 03E+10)

 ( 1 5 25 125)        ( 2,11E+10 )

Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:

 (а₀ ) ( 1,79E+10 )    (1, 838E+10 )

 (а₁ ) ( 3,976E+08 )   ( 1,899E+10 )

 = (а₂ ) =  ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 )

 (а₃ ) (- 8,333E+06)   ( 2, 039E+10)

 ( 2, 108E+10).

Отрицательное значение параметра а₃ = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.

 

3.3. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R² .

Значение коэффициента детерминации R² = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели

y_t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t² – 0,008333*t³ .