Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Определение 5. Базис e1, e2, …, en,векторного пространства V называется ортонормированным, если 1) вектора базиса попарно ортогональны, т.е. ei ^ ej; i , j = 1, 2, …, n, i ¹ j. 2) вектора базиса имеют единичную длину, т.е. |ei| = 1; i = 1, 2, …, n. В силу теоремы 5 условие ортонормированности базиса равносильно равенствам: ei ej = Теорема 6. Скалярное произведение двух векторов a = (a1, a2,... ,an), b = (b1, b2,... ,bn), заданных своими координатами в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений, соответствующих координат этих векторов, т.е. a b = (a1b1, a2b2,... ,anbn). (4) Доказательство. Пусть e1, e2, …, en - ортонормированный базис. По определению координат вектора a = a1e1+ a2e2 +... + anen, b = b1 e1+b2 e2 +... + bnen. Тогда по свойствам скалярного произведения и определению ортонормированного базиса получаем a b = ei ej = ei ej = ei ei = . Стандартный ортонормированный базис пространства V3 обозначается буквами i, j, k, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами x, y, z: a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2). Тогда имеем a b = x1x2 + y 1y2 + z1z2. (5) По теореме 5 получаем следствие. Следствие 1. a ^ b Û x1x2 + y 1y2 + z1z2 = 0. По теореме 4 свойства скалярного произведения a2= |a|2. Отсюда выводим формулу для длины вектора с = (x, y, z), |с| = . (6) Если вектора a и b не нулевые, то определения скалярного произведения векторов находим формулу для косинуса угла j между векторами a и b: cos j = (a b) /(|a||b|) = , (7) Стандартный ортонормированный базис пространства V2 обозначается буквами i, j, координаты векторов в этом базисе обозначаются буквами x, y: a = (x1, y1), b = (x2, y2), с = (x, y). Тогда имеем a b = x1x2 + y 1y2. (8)
Следствие 1. a ^ b Û x1x2 + y 1y2 = 0. |с| = . (9) Косинус угла j между векторами a и b находится по формуле: cos j = . (10) 3. Ориентации троек векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. 1. Ориентация векторов. В пространстве различают два вида упорядоченных троек векторов. Определение 1. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой (левой), если эти вектора, отложенные от одного начала, располагаются так же, как расположены большой, указательный средний пальцы правой (левой) руки. Данному правило различия правой и левой троек векторов можно придать следующие равносильные формулировки. Правило правого винта или буравчика. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c является правой (левой), если правый (левый) винт вращать по наименьшему углу от вектора a к b, то направление винта совпадает с направлением вектора c. Тройка a, b, c правая, если смотреть с конца вектора на плоскость векторов , то поворот a от b к по кратчайшему углу происходит против часовой стрелки. Замечание 1. Так как в самой геометрии нет понятия правого и левого, то необходимо дать такое определение, которое основывается только на понятиях самой математики. Для этого выберем, какую-нибудь тройку векторов и назовем ее основной (правой). Далее две тройки векторов назовем ориентированными одинаково (противоположно), если определитель матрицы перехода от первой тройки ко второй >0 (<0). Тогда все тройки, ориентированные одинаково с основной тройкой назовем правыми, а остальные тройки назовем левыми.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (482)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |