Определение смешенного произведения и его свойства.
Определение 1. Смешенным произведением трех векторов a, b, c называется скалярное произведение векторного произведения векторов a и b на вектор c. Смешенное произведение векторов a, b, c обозначается символом abc. Таким образом, по определению abc = (a´b)c. Теорема 1. Модуль смешенного произведения трех некомпланарных векторов a, b,c равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, при этом, если тройка векторов a, b,c правая, то abc > 0, если тройка векторов a, b,c - левая, то abc < 0. Доказательство. Отложим векторы a, b,c от точки O: a = , b = , c = , и построим на их как на ребрах параллелепипед OADBCA1D1B1 . Через точку О проведем прямую l перпендикулярную плоскости OAB. Найдем проекцию С1 точки С на прямую l. Тогда вектор является проекцией вектора на l. Длина вектора равна высоте h построенного параллелепипеда. Построим вектор a´b, который по определению ортогонален векторам a и b, и поэтому перпендикулярен плоскости OAB . Таким образом, вектор a´b коллинеарен вектору . По свойству скалярного произведения (a´b) c = |a´b| прa´bc = ±|a´b|| | = ± S основ .× h = ±V параллелепипеда, (1) где стоит знак "+", если a´b , и стоит знак "-", если a´b ¯ . Таким образом, |(a´b)c|= V параллелепипеда. Далее a´b тогда и только тогда, когда тройки векторов a, b, a´b и a, b,c ориентированы одинаково, т.е. a, b,c правая тройка. Тогда из (1) следует, что,если тройка векторов a, b,cправая, тоabc > 0, если тройка векторов a, b,c - левая, тоabc < 0. Теорема 2. Векторы a, b,c компланарны тогда и только тогда, смешенное произведение abc = 0. Доказательство. ( Þ ) Пусть векторы a, b,c компланарны. Вектор a´b ортогонален векторам a и b, и поэтому он ортогонален вектору c, который изображается в плоскости, параллельной векторам a и b. Так как a´b^c, то (a´b)c = 0. ( Ü ) Пусть abc = 0. Докажем, что векторы a, b,c компланарны. Если допустить, что они некомпланарны, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах ¹ 0. Тогда по теореме 1 abc = =±V ¹ 0. Получаем противоречие. 2. Смешенное произведение векторов в координатной форме. Пусть i, j, k ортонормированный базис пространства V3, вектора которого образуют правую тройку. Пусть a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) , с = (x3, y3, z3) координаты этих векторов в базисе i, j, k. Тогда по формулам (5) § 5 и (1) § 6 получим a´b =( , - , ), (a´b)c = x3 - y3 + z3. Последнюю формулу по теореме о разложения определителя по строке можно записать в виде: (a´b)c = . (2) Так как при перестановке двух строк в определителе значение определителя меняется на противоположное, то при перестановке двух векторов в смешенном произведении его знак меняется на противоположный: abc = -bac = bca = -bac = cab = -cba. (3) Из теоремы 1 получаем следствие. Следствие 1. Пусть a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) , с = (x3, y3, z3) координаты векторов в ортонормированном базисе. Тогда объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах равен модулю определителя, составленного из координат этих векторов: V = |(a´b)c| = , (4) где стоит знак "+", если тройка векторов a, b,c правая, знак "-", если тройка векторов a, b,c - левая. Следствие 2. Векторы a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) , с = (x3, y3, z3) компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю, т. е. =0.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (209)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |