Отношение доминирования по Парето. Парето-оптимальность

Если функции  достигают максимум в одной и той же точке , то говорят, что задача (3) имеет идеальное решение.

Случаи существования идеального решения в многокритериальной задаче крайне редки. Поэтому основная проблема при рассмотрении задачи (3) – формализация принципа оптимальности, т.е. определение того, в каком смысле «оптимальное» решение лучше других. В случае отсутствия «идеального решения» в задаче (3) ищется компромиссное решение.

Для всякой альтернативы  вектор из значений целевых функций  является векторной оценкой альтернативы . Векторная оценка альтернативы содержит полную информацию о ценности (полезности). Сравнение любых двух исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

Пусть . Если для всех критериев  имеют место неравенства , , причем хотя бы одно неравенство строгое, то говорят, что решение  предпочтительнее решения . Условие предпочтительности принято обозначать в виде .

Определение (оптимальность по Парето). В задаче МКО точка  называется оптимальной по Парето, если не существует другой точки , которая была бы предпочтительнее, чем .

Точки, оптимальные по Парето, образуют множество точек, оптимальных по Парето (множество неулучшаемых или эффективных точек) .

Оптимальные решения многокритериальной задачи следует искать только среди элементов множества альтернатив . В этой области ни один критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного из других. Важным свойством множества Парето  является возможность «выбраковывать» из множества альтернатив  заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям. Обычно решение многокритериальной задачи должно начинаться с выделения множества . При отсутствии дополнительной информации о системе предпочтений ЛПР должно принимать решение именно из множества Парето .

В векторной оптимизации кроме множества Парето в общем случае нет общих правил, по которому варианту  отдается предпочтение по сравнению с другим вариантом .Часто решение многокритериальной задачи состоит в построении множества Парето-оптимальных точек и дальнейшем выборе одной из них на основе «здравого смысла» или с помощью какого-либо другого критерия.Во всех случаях задача многокритериальной оптимизации каким-то способом сводится к задаче с одним критерием. Существует много способов построения такого окончательного критерия, однако ни одному из них нельзя заранее отдать наибольшее предпочтение. Для каждой задачи этот выбор должен делаться ЛПР.

Пример.

Проиллюстрируем приём выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество D состоит из 11 возможных решений. Каждому решению соответствуют определённые значения показателей F₁ и F₂. Пусть имеются следующие векторные оценки: F(X₁)=(2;4), F(X₂)=(3;5), F(X₃)=(3;3), F(X₄)=(5;2), F(X₅)=(4;3), F(X₆)=(1;3), F(X₇)=(2;3), F(X₈)=(3;2), F(X₉)=(2;2), F(X₁₀)=(3;1), F(X₁₁)=(2;1).

Решение X₁ вытесняется решением X₂, решение X₂ лучше решений X₃, X₇, X₈, X₉, X₁₀ и X₁₁. Решение X₄ по первому критерию лучше решения X₅, а по второму наоборот, т.е. имеем неулучшаемые решения, и т.д. После проведённого анализа у нас остались три решения X₂,X₄, X₅ оптимальных по Парето.

Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия F1, а по оси ординат – значения критерия F2).

Из рисунка видно, что эффективные точки лежат на правой верхней границе области возможных решений (Ауд. решить данную задачу, когда оба критерия нужно минимизировать).