Обозначение сигма ( S )
Анализ большинства данных включает, между прочим, сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Поскольку мы хотим поговорить о выполнении этих операций над группой чисел вообще, произведем операции на символах вместо чисел. Последовательность Х1, Х2, ..., Хп представляет собой группу из n чисел, каждое число которой можно записать как Xi. Х1 + Х2 заменяет сумму первого и второго чисел. Порядок индексов обычно совершенно произволен. С тем же успехом можно было бы использовать Х2 + Х1 Х1 + Х2 + Х10 представляет собой сумму первого, второго и десятого номеров. Часто мы хотим сложить все числа группы. Если в группе имеется 5 чисел, то n = 5, а сумма всех чисел равна Х1 + Х2 + … + Х5 Х1 + Х2 + … + Xn обозначает сумму всех n чисел в группе, когда точное значение n не сговорено. Сокращение записи для Х1 + Х2 + … + Xn, которое часто употребляется, выглядит так: Хi Хi обозначает Х1 + Х2 + … + Xn Хi = Х1 + Х2 + X3 Хi = Х3 + Х4 + X5 S - это греческая прописная буква "сигма". Хi читается как "сумма Хi когда i пробегает значения от 1 до 5". Хi читается как "сумма Хi когда i пробегает значения от 1 до n ". Общепризнанно, что краткое обозначение S является экономным. Статистики извлекают из этою большую пользу. Сложение чисел, умноженных, например, на 6 или возведенных в квадрат (это значит умноженных на самих себя), осуществляется, как обычно. Допустим, мы хотим умножить каждое из n чисел на 2 и сложить результаты. Искомая сумма есть 2X1 + 2X2+...+2Xn. Но вы наверняка заметите, что эта сумма - то же самое, что и 2(X1 + X2+...+Xn). Используя S-обозначение, мы можем заменить (X1 + 2X2+...+2Xn) на Хi Результат можно записать так: 2X1 + 2X2+...+2Xn = 2Хi = 2 Хi Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i), то сX1 + сX2+...+сXn = сХi = с Хi (Правило 1) Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим X1 + с, X2+ с, …, Xn + с Сумма этих значений (X1 + с) + (X2+ с) + … + (Xn +с) = ( Xi +с) При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать ( Xi +с) = (X1 + X2+...+Xn ) + (с + с + … + с) Первая сумма в круглых скобках справа дает Хi Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна nс. Следовательно, ( Xi +с) = Хi + с = Хi + nс (Правило 2) Другое важное выражение - сумма квадратов n чисел (X1 X1) + (X2 X2) + ... + (Xn Xn ) = + + … + , которое символически изображается как Х Аналогично + + … + = Х хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко. Заметим, что Хi символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел. Хi может быть 10, 13 или 1300. с Хi это произведение двух чисел с и Хi . ( Хi) ( Хi) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом: ( Хi) ( Хi) = ( Хi)2 Если Х1 = 3, Х2 = 6, а Х3 = 1, то Хi = 10, а ( Хi)2 = 100. Обычным в статистическом анализе является выражение (Xi +с)2 = (X1 + с)2 + (X2+ с)2 + ... + (Xn +с)2 (Xi +с)2 , равное (Xi +с) (Xi +с), иначе можно записать так: Xi + с
Действительно, тогда (Xi +с)2 = (Х + 2сХi +с2) Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом: Х + 2сХ1 +с2 Х + 2сХ2 +с2 … … … … … … Х + 2сХn +с2 Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равна Х + Х + … + Х = Х . Какова сумма второго столбца? Она составляет 2сХ1 + 2сХ2 + … + 2сХn = 2с (Х1 + Х2 + … + Хn), что более кратко можно записать как 2с Хi . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с2 + с2 + ... + с2 = nc 2 . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем (Xi +с)2 = Х + 2с Хi.+ nc 2 . (Правило 3) Хотя такие действия правильны, в них нет необходимости. Вместо этого можно "распределить" знак суммирования перед каждым членом и получить непосредственно тот же результат: (Xi +с)2 = (Х + 2сХi +с2) = Х + 2сХi + с2 = = Х + 2с Хi.+ nc 2 .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (186)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |