Ряды Тейлора и Макларена

Функциональные ряды (ФР). Степенные ряды (СтР)

Функциональный ряд– ряд вида

 

,

 

члены которого являются функциями от х.

Придавая х различные числовые значения, получаем различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться.

Совокупность тех значений х, при которых ФР сходится, называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости ФР чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси ОХ.

Частным случаем ФР является степенной ряд.

СтР – ФР вида

 

,

 

где а,С0,С1,…,Сn – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. При а=0 СтР принимает вид:

 

 

Для всякого СтР существует такой интервал, который называется интервалом сходимости, внутри которого ряд сходится абсолютно; вне этого интервала ряд расходится.

Задан СтР, надо найти интервал сходимости для этого ряда. Находим так:

- радиус сходимости ряда СтР.

-R<x-a<R

a-R<x<a+R

 

Если взять любое значение х из интервала сходимости (расходимости) и подставить его в СтР вместо х, то получим сходящийся (расходящийся) числовой ряд.

В частном случае R может быть равен 0 (R=0) или (R= ).

Если R=  то интервал сходимости будет от -  до +  (- ;+ ), т.е. ряд сходится на всей числовой оси.

Если R=0 то ряд расходится на всей числовой оси, кроме точки х=а (в этой точке ряд сходится).

Для нахождения R СтР применяем формулы Да Ламбера или Коши:

 

 - формула ДаЛамбера

- формула Коши

 

На концах интервала сходимости, т.е. в точках х=а-R и х=а+R вопрос о сходимости/расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. Для этого необходимо подставить с СтР вместо х числа х=а-R и х=а+R и исследовать полученные числовые ряды на сходимость или расходимость. Если ряд сходится (расходится), то интервал сходимости будет закрытым (открытым).

ИТОГ. Задан СтР. Найти интервал сходимости СтР.

1. Найти R. 2. определить интервал сходимости. 3. исследовать на сходимость концы интервалов.

Ряды Тейлора и Макларена

 

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале  (т.е. a-R<x<a+R), может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд по степеням х-а, который называется рядом Тейлора и имеет вид:

 

 

 

Это равенство справедливо лишь в том случае, если остаточный член (остаток ряда) формулы Тейлора стремится к нулю (R_n(x) 0) при неограниченном возрастании n ( ), т.е. .

В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x).

 

f(x)=Sn(x)+Rn(x)  Rn(x)=f(x)-Sn(x)

 

Sn(x)-сумма первых членов; Rn(x)-остаток ряда.

Для оценки остатка ряда можно пользоваться формулой:

 

 

остаток ряда в формуле Ла-Гранда, где «с» заключено между «а» и «х» (а<с<х).

Если в ряде Тейлора а=0, то ряд примет вид:

 

Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Макларена.

1. Разложим в ряд Макларена (то есть по степеням х) функцию e^x.

Получаем разложение функции в ряд Макларена.

 

f(x)=e^x, f’(x)=e^x,…, f⁽ⁿ⁾(x)=e^x,…; a=0, f(0)=1, f’(0)=1,… f⁽ⁿ⁾(0)=1

 

Получаем разложение функции f(x)=e^x в ряд Макларена:

 

I.

a=0, C_n=1/n!

 

Приведем разложение в ряд Макларена следующих функций.

 

II.

III.

IV.

V.

 

Приближенные вычисления значений с помощью рядов.

ПРИМЕР. Вычислить с точностью до 0,001 число .

;

;

;

e^1/2=1+0.5+0.125+0.0208+0.0026+0.0003=1.648

 

Приближенные вычисления интегралов с помощью рядов.

Пример. Функция , с точностью до 0,001.

 

Ряды Фурье

 

Теорема Дерихле: функция f(x) удовлетворяет условиям Дерихле в интервале (а,в), если в этом интервале функция удовлетворяет трем условиям:

1). Равномерно ограничена (при x (a;b), т.е. a<x<b , M=const).

2). Имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода.

3). Имеет не более чем конечное число точек экстремума.

Теорема Дерихле утверждает, что если функция f(x) удовлетворяет в интервале ( ) условиям Дерихле, то во всякой точке (х) этого интервала функцию f(x) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье.

 

,

где a_n и b_n называются коэффициентами Фурье и вычисляются по формулам:

 

 

Для разложения функции в ряд Фурье надо вычислить коэффициенты а₀, а_n, b_n.

 

Неполные ряды Фурье

 

Если функция f(x) четная, т.е. f(-x)=f(x), то в формулах (1) b_n=0 (n=1,2,…),

 

 

Если функция f(x) нечетная, т.е. f(-x)=-f(x), то a_n=0 (n=0,1,2…), .

Ряды Фурье периода 2l.

Если f(x) удовлетворяет условиям Дерихле в некотором интервале (-l; l) длины 2l, то справедливо следующее разложение в ряд Фурье:

 

 

 

ряд Фурье периода 2l, т.е. в интервале (-l; l), где коэффициенты вычисляются:

 

Замечание: в случае разложения функции f(x) в ряд Фурье в произвольном интервале (a; a+2l) длины 2l пределы интегрирования в формулах (2), у коэффициентов Фурье нужно заменить соответственно на (а) и (a+2l).

 

 

Теория вероятностей

 

Основным понятием в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события, которые бывают трех видов:

-Достоверные- событие, которое обязательно произойдет.

-Невозможное- событие, которое заведомо не произойдет.

-Случайное- событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

События обозначаются буквами А,В,С и т.д.

Вероятность события – буквой Р.

Вероятность события А называется равенство Р(А)=m/n, n-общее число возможных элементарных исходов; m-число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. Следовательно:

1. вероятность достоверного события есть 1 (m=n).

2. вероятность невозможного события есть 0.

3. вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, т.е. 1>=Р(А)>=0. Следовательно, какое бы ни было событие, его вероятность заключена в промежутке [0;1].

События называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, брошена монета. Событие А-выпал герб, В-выпала решка. События А и В – несовместимые, т.к., если при одном бросании выпал герб, то решки уже не будет, т.е. несовместимые события не могут появиться одновременно. При одном бросании монеты не могут одновременно…

События равновозможны, если нет никаких причин считать, что одно из них может наступить чаще чем другое.

Например, появление герба или решки при бросании монеты. Или бросании игральных костей. Найти вероятность выпадения 6. Р(А)=1/6-равновозможные несовместимые события.

События образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Например, герб или решка при выпадении.

В дальнейшем при решении многих задач, а так же в некоторых формулах будет присутствовать понятие из комбинаторики, называемое «сочетание» - сочетание из n по m элементов.

 

 

число сочетаний из n элементов по m. Это число способов, которыми можно взять m элементов из n.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А или В или их обоих.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

 

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Эта теорема распространяется и на n слагаемых, когда события попарно несовместимы.

Пример.

В ящике 10 деталей, из которых … окрашены. Взяли 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

А- хотя бы одна окрашена.

Первый способ.

В- одна деталь окрашена (2 не окрашены).

С- две детали окрашены (1 не окрашена).

Д- три детали окрашены.

Интересующее событие произойдет, если произойдет одно из трех событий В,С или Д.

 

А=В+С+Д.

Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(Д)= =5/6

 

Второй способ.

Рассмотрим понятие противоположных событий.

Событием, противоположным событию А называется событие , состоящее вне наступлении события А. Очевидно, что события А и  несовместны.

Например: А- стрелок поразил мишень; - стрелок промахнулся. В дальнейшем вероятность появления события А будем обозначать р, а вероятность появления противоположного события - q.

Теорема: сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

 

Р(А)+Р( )=1 или p+q=1

А- хотя бы одна из деталей окрашена. Тогда - ни одна из трех деталей не окрашена.

 

Р(А)+Р( )=1. Р(А)=1-Р( )=5/6

 

Два события называются независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

Произведением А*В двух событий А и В, называется событие, состоящее в совместном наступлении события А и В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Вероятностью совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

 

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

 

Эта теорема распространяется и на n сомножителей, когда события попарно независимы.

Пример 1(51).

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятное попадание в мишень при одном выстреле равна 0,7 и 0,8 соответств. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет:

А). только 1 из стрелков.

Б). Оба попадут.

В). оба промажут.

A- первый попал.    В- второй попал.

Р(А)=р₁=0,7   Р(В)=р₂=0,8

- первый промах. - второй промах.

 

Р( )=q₁=0,3   Р( )=q₂=0,2

А). Р(A)Р( )+Р( )Р(B)=p1q1+p2q2=0,38

Б). Р(А)*Р(В)=p1*p2=0,56

В). Р( )*Р( )=q1*q2=0,6.

Проверка: 0,38+0,56+0,6=1.

 

Пример 2. Пример 3 (55). Пример 4 (56).

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р_В(А) – вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного проявления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго.

 

Р(А*В)=Р(А)*Р_А(В)

Р(А*В)=Р(А)*Р_В(В)

 

Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытаний может произойти n независимых событий А1,А2…, либо некоторые из них Р(А1)=р1, Р( )=q1… Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Теорема.

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2…, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

 

Р(А)=1-q₁q₂…q_n

 

Замечание.

Если все события имеют одинаковую вероятность Р, то

Р(А)=1-q_n.

 

Примеры 82, 87, Д/з.

Формула полной вероятности.

События В₁,В₂,…,В_n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В₁)+ Р(В₂)+…+ Р(В_n)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В₁,В₂,…,В_n. Тогда вероятность события А равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

 

Р(А)=Р(В₁)Р_В1(А)+ Р(В₂)Р_В2(А)+…+ Р(В_n)Р_Вn(А)

 

Формула Бейеса

 

События В₁,В₂,…,В_n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В₁)+ Р(В₂)+…+ Р(В_n)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В₁,В₂,…,В_n. Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности.

Пусть событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез В₁,В₂,…,В_n могут быть переоценены по формуле Бейеса:

 

 

Формула Бернулли

 

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может или наступить или не наступить. Вероятность наступления (не наступления) события А одна и та же и равна p (q=1-p).

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно к раз (по фиг, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

 

 

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит:

а). Менее к раз P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(k-1).

б). Более к раз P_n(k+1)+P_n(k+2)+…+P_n(n).

в). не менее к раз P_n(k)+P_n(k+1)+…+P_n(n).

Г). не более к раз P_n(0)+P_n(1)+…+P_n(k).

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Этими теоремами мы пользуемся в том случае, когда n достаточно большое.