Определение момента инерции системы тел

Цель работы : экспериментальное определение момента инерции системы тел и сравнение полученного результата с теоретически рассчитанным значением для этой же системы тел.

 

Краткая теория

 

При описании вращения твердых тел различной формы пользуются понятием – момент инерции ( J ). Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси.

                                         J =  ,                                  (3.1) где m_i – масса i – ой частицы твердого тела,

  r_i  - радиус-вектор вращения i – ой частицы относительно оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу: J = , где интегрирование производится по всему объему тела, величина J в этом случае есть функция положения точки с координатами x , y , z .

 

Расчет моментов инерции для некоторых тел правильной геометрической формы дает следующие табличные выражения:

1. Сплошной цилиндр, диск: J =

2. Шар : J =

3. Полый, тонкостенный цилиндр: J = mr ²

Момент инерции ( J ) системы твердых тел – величина аддитивная, равная сумме моментов инерции отдельных тел

( J ₁ ; J ₂ ; …. ; J_n ) этой системы :

                                   J=J₁+J₂+…+J_n= .                    (3.2)

Воспользовавшись формулой ( 2.2 ) , момент инерции для системы тел можно записать в виде :

                         J _{системы} = J _диска + J _вала + J _{прилива}   ,                (3.3)

J _шкива в виду малости вклада не учитывается.

Теоретически момент инерции можно рассчитать , если тела имеют правильную геометрическую форму, именно так можно поступить в нашем случае :

            J _{системы} = .          (3.4)

Момент инерции можно определить и опытным путем , используя второй закон динамики для вращательного движения. В соответствии с этим законом угловое ускорение

( ε ) , с которым тело вращается вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально вращательному моменту сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела:

                                        ε = ,                                     (3.5)

где ε - угловое ускорение,

J - момент инерции.

M - момент сил, действующей на систему тел.

При постоянном моменте сил ( М = const ) тело вращается равнопеременно (  = const ) . Измерив величину углового ускорения , можно определить момент инерции системы тел.

                                               J = .                                   (3.6)

Экспериментальная установка ( рис.3.1 ) состоит из массивного металлического диска А , который крепится на валу В при помощи прилива С. На деревянный шкив К наматывается нить, с закрепленным на ней сменным грузом массой m _гр .

 

Рис.3.1 Общий вид установки

 

По третьему закону Ньютона, реакция нити N по модулю равна силе F, действующей на нить со стороны груза ( рис.3.2 ). Под действием груза создается момент силы относительно оси вращения:

                                           M = F       ,                        (3.7)

где F – модуль силы , приложенной посредством нити к шкиву,

D - диаметр деревянного шкива.

                                       

                                         Для нахождения величины силы F

                                     рассмотрим движение груза .

                                        На груз действуют две силы: сила 

                                   тяжести ( ) и сила реакции нити ( ).

                                   Согласно второму закону динамики для

                                    поступательного движения,

                                    спроецировав вектора на ось х , можно

                                   записать для данного случая равенство:

                                              m _гр a = m _гр g – N ,                   (3.8)

 

Рис.3.2                        где а – линейное ускорение движения

Схема приложения    груза,

сил                              g – ускорение свободного падения

                                        ( g = 9,81 м/с² )

Отсюда выразим силу реакции нити :

                                      N=m _гр (g – a) .                             (3.9)

Перепишем выражение ( 3.7 ) для момента силы, подставив вместо F выражение для N :

                                    M=m _гр (g – a) .                         (3.10)

Подставив выражение для М ( 3.10 ) в формулу ( 3.6 ) получим выражение для момента инерции :

                                    J=  m _гр (g – a) .                          (3.11)

Угловое ускорение вращающейся системы , связано с линейным ускорением движения груза вниз , соотношением :

                                            .                                   (3.12)

Линейное ускорение груза , опускающегося с высоты h можно рассчитать из соотношения :

                                       .                                    (3.13)                             

Подставив в формулу ( 3.11 ) для расчета момента инерции соотношение ( 3.12 ) и соотношение ( 3.13 ) получим искомую расчетную формулу для экспериментального определения момента инерции системы тел в окончательном виде :

                                  .                          (3.14)

Проведя расчеты и сравнив полученные значения момента инерции системы тел экспериментально и теоретически мы сможем написать вывод о проделанной работе.

 

Выполнение работы

 

Приборы и материалы: лабораторная установка ( рис.3.1 ) , секундомер, штангенциркуль, линейка, набор грузов

( 1, 2, 3 кг ) .

 

Порядок выполнения работы :

 

1. Теоретически рассчитывают момент инерции системы тел. Для этого параметры диска, прилива и вала заносим в таблицу № 3.1 . По этим данным рассчитывают моменты инерции отдельных тел , их величины суммируют по формуле

( 3.3 ) и заносят в таблицу № 3.1.

 

Таблица № 3.1

Данные для теоретического расчета момента инерции системы тел

 

тело	масса ( кг )	диаметр ( м )	момент инерции ( кг м2 )
			отдельных тел	системы тел
Диск	11,00 0,01	0,243 0,001
Прилив	0,40 0,01
Вал	0,90 0,01

 

2. Экспериментальное определение момента инерции этой же системы тел

Измеряют штангенциркулем диаметр деревянного шкива

(Таблица № 3.2).

Прикрепляют конец нити к первому грузу m ₁. Вращая диск наматывают нить на деревянный шкив, поднимая груз на высоту h = 1,25 м. Высоту подъема измеряют линейкой от пола до нижнего основания груза. Отпускают груз, предоставляя ему свободно опускаться на нити . Секундомером определяют время падения груза. Опыт повторяют три раза . В таблицу

№ 3.2 заносят три значения времени падения груза m ₁ = 1 кг. Из трех значений рассчитывают среднее время , заносят его в таблицу. Опыт повторяют с грузами m ₂ = 2 кг и m ₃ = 3 кг, полученные данные заносят в таблицу № 3.2. Используя средние значения времени падения грузов, по формуле ( 3.14 ) рассчитывают три раза (соответственно трем значениям времени падения груза) момент инерции системы тел . Затем находят среднее значение момента инерции . Результаты заносят в таблицу № 3.2. Момент инерции деревянного шкива не учитывают в виду его малости.

Таблица № 3.2

Данные для экспериментального определения момента инерции системы тел

 

масса груза	Время падения груза t ( сек )			< t > ( сек )	J (кг м2)	Δ J (кг м2)
m1 = 1 кг
m2 = 2 кг
m3 = 3 кг
Диаметр деревянного шкива D =                 ( м )					< J >=	<Δ J>=

 

Вычисление погрешностей и окончательный результат

 

 Находят абсолютные погрешности ΔJ₁ , ΔJ₂ , ΔJ₃ моментов инерции , вычисленных для трех случаев , по ним определяют среднюю абсолютную погрешность <ΔJ> .

Относительная погрешность определения момента инерции :

                                  %    .                         (3.15)

Окончательный результат :

                                                 .                         (3.16)

 

Проводят сравнение значений момента инерции системы тел определенных экспериментально и рассчитанных теоретически.

Записывают выводы.