Цифровые модели элементов радиосистем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.
В большинстве случаев исследования радиосистем методами математического моделирования их можно описать дифференциальными уравнениями Ψ(y,y',…,y(n),t,x,x',…,x(m),α,β)=0. (14) Здесь x,x',…,x(m) и y,y',…,y(n) – входные и выходные фазовые переменные и их производные; t – независимая переменная – время; α, β – множества внешних и внутренних параметров системы; t=t0; y0=y(t0); - начальные условия. В процессе моделирования системы необходимо определить реакцию системы y(t) и её производные на некотором заданном интервале t0≤t≤TН. В методах численного решения дифференциальных уравнений подобного вида используется принцип пошагового интегрирования, при котором начиная с начальных условий осуществляется предсказание последующих значений переменной y=y(t) и её производных. Все алгоритмы численного решения дифференциальных уравнений можно разбить на одноступенчатые методы прогноза и многоступенчатые методы прогноза и коррекции. Одноступенчатые методы прогноза для получения решения в момент t1=t0+Δt используют информацию о начальных условиях, которые предполагаются заданными. Поэтому соответствующие алгоритмы являются самоначинающимися. Многоступенчатые методы прогноза и коррекции для получения решения в момент ti=t0+iΔt используют информацию о y=y(t) в некоторые предыдущие моменты времени ti-1, ti-2,…, т.е. для их реализации необходимо знать решения yi-1, на предыдущих этапах. Это несамоначинающиеся численные алгоритмы. Такие алгоритмы более экономны в смысле затрат машинного времени при той же точности решения задачи. Особенностью численных методов решения дифференциальных уравнений является то, что они применимы для решения дифференциальных уравнений только 1-го порядка (15) С начальными условиями t=t0, y=y0. Если радиосистема описывается уравнением n-го порядка, то для численного решения его необходимо описать совокупностью уравнений 1-го порядка. Если решение такого уравнения существует и единственно, то его можно представить рядом Тейлора в окрестности точки ti где при t=ti (i=1,2,…,K, K=TH/Δt) (16) ………………………………………………. Несмотря на то, что этот алгоритм решения уравнения является самоначинающимся и сравнительно просто позволяет получить решение с любой точностью, с точки зрения возможности его реализации на ЭВМ он обладает существенным недостатком. Здесь для получения решения на каждом шаге t1, t2,…,tk необходимо вычислять производные что приводит к значительным затратам машинного времени. Поэтому многие известные алгоритмы используют аппроксимацию конечного числа членов разложения решения в ряд Тейлора. При этом аппроксимация осуществляется так, чтобы отпала необходимость в вычислении производных в (16). Наиболее часто применяемые при моделировании радиосистем алгоритмы представлены в табл. 1. Алгоритм Эйлера использует первые два члена разложения в ряд Тейлора, алгоритм Эйлера-Коши – три, а алгоритм Рунге-Кутта 4-го порядка - четыре. Наиболее точными из приведенных в табл. 1 являются алгоритмы Рунге-Кутта. Точность решения задачи в каждом отдельном случае зависит также от интервала Δt. Поэтому остановимся на принципах выбора интервала дискретизации Δt в зависимости от необходимой точности решения задачи. Таблица 1.
Рассмотрим алгоритм цифрового моделирования инерционного звена Соответствующее дифференциальное уравнение Для произвольного внешнего воздействия x(t) алгоритм Эйлера дает следующее решение: (17) Оценим точность решения задачи на одном шаге, полагая, что в системе имеет место только собственное движение (x=0). В этом случае (t=t0, y=y0), и можно получить точное решение задачи Из (17) получаем решение методом Эйлера Относительная погрешность решения на одном шаге . Если положить , то Погрешности решения аналогичной задачи на одном шаге методами Эйлера-Коши и Рунге-Кутта 4-го порядка, приведены в табл. 1.
Лекцию разработал Доцент к.т.н. доцент В. Ерохин 26.06.2014
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (191)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |