Уравнение линии. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Тема 2. Аналитическая геометрия

Лекция 4. Прямая на плоскости

§1. Уравнение линии. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

§2. Способы задания прямой на плоскости.

§3. Общее уравнение прямой на плоскости.

§4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Задача аналитической геометрии – изучение свойств геометрических объектов с помощью аналитических методов.

В различных разделах элементарной математики алгебра применяется при решении многих геометрических вопросов. Например, с помощью чисел определяются длины отрезков и дуг, площади фигур, объемы тел. В элементарной математике решается вопрос о размерах геометрических форм.

В аналитической геометрии рассматриваются и многие другие свойства геометрических фигур, в том числе положение в пространстве.

Геометрические формы многообразны, задать каждую из них с помощью какого-нибудь набора чисел невозможно, поэтому нужно какую-либо из форм принять за основную, с помощью которой можно образовать все остальные. Проще всего за такую начальную форму принять точку. Тогда всякую другую форму, например, линию или поверхность можно рассматривать как определенное множество точек.

Приняв за начальный элемент точку, во-первых, нужно показать, каким образом определяется ее положение в пространстве. Для этого существует метод координат. Во-вторых, нужно установить, каким образом геометрические свойства линии или поверхности отражаются на координатах точек, принадлежащих этой линии или поверхности.

Начнем с аналитической геометрии на плоскости.

Уравнение линии. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости

Важнейшим объектом изучения в аналитической геометрии на плоскости является линия.

Допустим, что на плоскости задана какая-либо линия и вместе с тем на плоскости выбрана некоторая система координат.

Определение. Уравнением данной линии Gв выбранной системе координат называется уравнение F(x, y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, принадлежащей этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой линии.

Входящие в это уравнение координаты x и y произвольной точки линии, называются текущими координатами линии.

ТочкаM₁ Î Г, тогда F(x₁, y₁) = 0,

точка M₂ Ï Г, тогда F(x₂, y₂) ¹ 0.

Замечание. Не нужно думать, что всякое уравнение с двумя переменными задает линию на плоскости. Например, уравнение x² + y² = 0 не является уравнением линии, ему удовлетворяют координаты лишь одной точки (0, 0). Уравнению x² + y² + 1 = 0 не удовлетворяют координаты ни одной точки на плоскости.

Первая задача аналитической геометрии на плоскости заключается в следующем. Дана линия на плоскости с известными геометрическими свойствами. Нужно составить уравнение этой линии.

Пример. Дана прямоугольная система координат, надо получить уравнение окружности с центром в точке C(x₀, y₀) радиуса R.

Определение. Окружность – это множество точек M, удаленных от фиксированной точки C, называемой центром этой окружности, на расстояние R.

Пусть M(x, y) – произвольная точка этой окружности, тогда . ; , т. е. 

. Возведя в квадрат, получаем:    (x – x₀)² + (y – y₀)² = R².

Для любой точки M₁, не принадлежащей этой окружности, , а значит координаты этой точки полученному уравнению не удовлетворяют.

Уравнение окружности с центром в точке C(x₀, y₀) радиуса R запишется:

(x – x₀)² + (y – y₀)² = R²

Вторая задача аналитической геометрии плоскости заключается в следующем. Дано уравнение линии на плоскости, нужно установить геометрические свойства этой линии.

Пример. Дано уравнение линии: x² – 6x + y² + 4y – 3 = 0. Установить геометрические свойства линии.

Выделим в этом уравнении полные квадраты по переменным x и y:

(x² – 6x + 9) – 9 + (y² + 4y + 4) – 4 – 3 = 0, (x – 3)² + (y + 2)² – 16 = 0, или (x – 3)² + (y + 2)² = 16, или .

Расстояние любой точки M(x, y) этой линии до точки C(3; –2) равно 4, т. е. это уравнение окружности с центром в точке C(3; –2) и радиусом, равным 4.