Аналитической геометрии в пространстве

Тема 2. Аналитическая геометрия

Лекция 5 Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

§1. Уравнение линии. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

§2. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Общее уравнение плоскости.

§3. Исследование общего уравнения плоскости.

§4. Взаимное расположение двух плоскостей.

Уравнение поверхности. Две основные задачи

аналитической геометрии в пространстве

Определение. Уравнением поверхности в выбранной системе координат называется такое уравнение F(x, y, z) = 0, связывающее три независимые переменные x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки на поверхности Q и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой поверхности.

Входящие в это уравнение координаты x, y, z произвольной точки поверхности, называются текущими координатами поверхности.

Точка M₁ Î Q, тогда F(x₁, y₁, z₁) = 0,

точка M₂ Ï Q,тогда F(x₂, y₂, z₂) ¹ 0.

Не каждое уравнение вида F(x, y, z) =0, связывающее независимые переменные x, y и z, определяет поверхность

Примеры. 1. Рассмотрим уравнение z = 0. Ему удовлетворяют все точки M(x, y, 0), лежащие в плоскости OXY , и только они. Следовательно, это уравнение задает координатную плоскость OXY.

2. Рассмотрим уравнение (x + 1)² + (y – 2)² = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой, которая проходит через точку M(–1, 2, 0) параллельно оси OZ, и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

3. Уравнению x² + y² + z² = 0 удовлетворяет только одна точка O(0, 0, 0) – начало координат. Уравнению x² + y² + z² = –1 (или, проще, x² = –1) не удовлетворяет ни одна точка пространства R³.

Первая задача аналитической геометрии в пространстве заключается в следующем. Дана поверхность с известными геометрическими свойствами. Нужно составить уравнение этой поверхности в какой-либо системе координат.

Пример. Пусть в пространстве выбрана некоторая прямоугольная система координат. Составим уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(x₀, y₀, z₀) = 0.

Определение.Сфера-это множество точек M, удаленных от фиксированной точки C, называемой центром сферы, на расстояние R.

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка сферы, тогда . , .

Так как, точка M(x, y, z) = 0 лежит на сфере, то она удовлетворяет уравнению , или

(x – x₀)² + (y – y₀)² + (z – z₀)² = R²,

С другой стороны, для любой точки M₁(x₁, y₁ z₁), не принадлежащей сфере, |CM₁| ¹ R, значит, координаты точки M₁ полученному уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение сферы имеет вид:

Вторая задача аналитической геометрии в пространстве заключается в следующем. В некоторой системе координат дано уравнение F(x, y, z) = 0. Нужно установить: какое множество точек (кривую, поверхность) оно задает, и изучить геометрические свойства этого множества.

Пример. В прямоугольной системе координат задано уравнение x² + y² + z² + 2x – 4y – 20 = 16.

Выделив полные квадраты по переменным x и y, получаем (x + 1)² + (y – 2)² + z² – 20 = 0 или .

Таким образом, расстояние от любой точки M(x, y,z) этой повер-хности до точки C(–1, 2, 0) равно 5. Значит, рассматриваемая поверх-ность является сферой радиуса R = 5 с центром в точке C(–1, 2, 0).