Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Определение. Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Пусть в пространстве выбрана некоторая система координат и задана какая-либо плоскость Q. Известны координаты точки, M₀(x_0, y₀, z₀), принадлежащей этой плоскости и какого-то вектора `n = (A, B, C), перпендикулярного плоскости (нормального вектора плоскости).

Возьмем произвольную точку M(x, y, z), принадлежащую этой плоскости. Рассмотрим вектор .

Вектор  лежит в плоскости Q. Значит , поэтому

( ,`n) = 0 или

A(x – x₀)+B(y –y₀)+C(z –z₀)=0.

Если точка M(x, y, z) не принадлежит плоскости Q, то вектор  не перпендикулярен вектору`n, а значит, ( ,`n) ¹ 0, т. е.

A(x –x₀)+B(y –y₀)+C(z –z₀) ¹ 0.

Таким образом, мы доказали, что уравнение плоскости по точке и нормальному вектору имеет вид:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

где A, B, C) координаты нормального вектора`n = (A, B, C) плоскости Q, а (x_0, y₀, z₀) – координаты точки, принадлежащей плоскости.

Замечание. Полученное уравнение является линейным относительно неизвестных x, y, z; они называются текущими координатамиточки плоскости.

Общее уравнение плоскости

Теорема(о взаимно-однозначном соответствии между плоскостями и линейными уравнениями с тремя неизвестными).

· Всякое линейное уравнение Ax + By + Cz + D = 0 с тремя переменными задает плоскость в пространстве.

· Всякая плоскость в пространстве задается линейным уравнением с тремя переменными Ax + By + Cz + D = 0.

►Доказательство.

Пусть дано линейное уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Найдем какие-либо числа x_0, y₀, z₀, удовлетворяющие этому уравнению, т. е. такие, что Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0.

Если, например, C ¹ 0, то можно взять любые x_0, y₀, а координату z₀ найти из уравнения Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0, т. е. положить . Тогда D = –(Ax₀ + By₀ + Cz₀) и уравнение принимает вид Ax + By + Cz – (Ax₀ + By₀ + Cz₀) = 0 или, после перегруппировки слагаемых, A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Это уравнение, как показано в п. 2.1, является уравнением плоскости (по точке (x_0, y₀, z₀) и нормальному вектору `n = (A, B, C).

Докажем обратное утверждение. Пусть в какой-либо системе координат расположена некоторая плоскость, нормальный вектор которой равен`n = (A, B, C). Зафиксируем на этой плоскости точку M<sub>0</sub>(x<sub>0,</sub> y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) и составим уравнение этой плоскости по точке M<sub>0</sub> и нормальному вектору`n = (A, B, C): A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Раскрывая скобки, получаем Ax + By + Cz – (Ax₀ + By₀ + Cz₀) = 0
Обозначив, D = –(Ax₀ + By₀ + Cz₀), получим уравнение плоскости в виде Ax + By + Cz + D = 0. ◄.

Определение.Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0называется общим уравнением плоскости.

Замечание. Коэффициенты A, B, C при неизвестных в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости.