Вариационные характеристики.

 

 

Для изучения корреляционного и регрессионного анализа в более подробном разрезе была взята совокупность стран Африки.

Задачей проводимого исследования является выявление и изучение зависимости данных экономических явлений.

 При проведении данного исследования была взята совокупность, состоящая из 25 стран Африки:

Алжир, Ангола, Генин, Ботсвана, Бурунди, Буркина Фасо, Габон, Гамбия, Гана, Гвинея, Гвинея-Бисау, Джибути, Египет, Заир, Замбия, Зимбабве, Кабо-Верде, Кения, Коморские острова, Конго, Кот-д’Ивуар, Лесото, Либерия, Ливия.

Характеризующими являются следующие признаки: средняя продолжительность жизни (лет), численность населения (тыс. человек), доля городского населения (%), число медицинских работников на 10 тысяч населения (чел.), доля неграмотных (%), среднегодовой индекс роста производства продовольствия (%).

Но для упрощения проведения расчетов и всего исследования, а также выявления связи стоит разделить вышеописанные признаки на факторный и результативные и заменить их условными переменными (у, х₁, х₂, х₃, х₄, х₅):

 результативный признак (у) представляет собой среднюю продолжительность жизни (лет); 

факторные признаки (х):

х₁: численность населения (тыс. человек);

х₂: доля городского населения (%);

х₃: число медицинских работников на 10 тысяч населения (чел.);

х₄: доля неграмотных (%);

х₅: среднегодовой индекс роста производства продовольствия (%).

 

Начальные данные представлены в таблице:    

  

 ┌────┬────────┬───────────┬────────┬────────┬────────┬─────────┐

 │ N │ y │   x1 │ x2 │ x3 │ x4 │ x5 │

 ├────┼────────┼───────────┼────────┼────────┼────────┼─────────┤

 │ 1 │ 63.00 │ 23102.00 │ 60.85 │ 32.70 │ 55.30 │ 87.00 │

 │ 2 │ 44.50 │ 9226.00 │ 21.00 │ 12.70 │ 97.00 │ 58.00 │

 │ 3 │ 46.00 │ 4304.00 │ 30.80 │ 7.50 │ 75.20 │ 108.00 │

 │ 4 │ 56.50 │ 1169.00 │ 29.50 │ 35.80 │ 59.30 │ 71.00 │

 │ 5 │ 48.50 │ 5001.00 │ 2.29 │ 3.80 │ 77.40 │ 101.00 │

 │ 6 │ 47.20 │ 8305.00 │ 8.48 │ 8.10 │ 91.20 │ 92.00 │

 │ 7 │ 51.00 │ 1058.00 │ 35.80 │ 22.30 │ 87.60 │ 98.00 │

 │ 8 │ 37.00 │ 670.00 │ 18.50 │ 15.10 │ 85.20 │ 62.00 │

 │ 9 │ 54.00 │ 13704.00 │ 35.86 │ 37.60 │ 69.80 │ 73.00 │

 │ 10 │ 42.20 │ 6380.00 │ 19.07 │ 4.20 │ 80.00 │ 91.00 │

 │ 11 │ 45.00 │ 925.00 │ 23.80 │ 38.60 │ 71.60 │ 83.00 │

 │ 12 │ 64.50 │ 372.00 │ 73.95 │ 72.20 │ 80.00 │ 75.00 │

 │ 13 │ 60.60 │ 50740.00 │ 45.37 │ 47.90 │ 56.50 │ 89.00 │

 │ 14 │ 52.00 │ 32461.00 │ 39.50 │ 12.60 │ 42.10 │ 86.00 │

 │ 15 │ 53.30 │ 7563.00 │ 40.40 │ 18.50 │ 56.00 │ 91.00 │

 │ 16 │ 57.80 │ 8640.00 │ 19.60 │ 16.60 │ 29.20 │ 94.00 │

 │ 17 │ 53.00 │ 10822.00 │ 34.60 │ 14.40 │ 59.50 │ 102.00 │

 │ 18 │ 61.50 │ 348.00 │ 5.80 │ 18.80 │ 63.10 │ 83.00 │

 │ 19 │ 53.30 │ 22936.00 │ 14.17 │ 11.20 │ 50.40 │ 93.00 │

 │ 20 │ 52.00 │ 472.00 │ 11.53 │ 15.30 │ 41.60 │ 91.00 │

 │ 21 │ 48.50 │ 1837.00 │ 37.27 │ 31.70 │ 84.40 │ 83.00 │

 │ 22 │ 52.30 │ 11142.00 │ 37.62 │ 13.50 │ 58.80 │ 102.00 │

 │ 23 │ 50.60 │ 1619.00 │ 4.52 │ 0.50 │ 48.00 │ 78.00 │

 │ 24 │ 51.00 │  2349.00 │ 32.94 │ 11.30 │ 74.60 │ 91.00 │

 │ 25 │ 60.80 │ 4083.00 │ 52.40 │ 64.80 │ 49.90 │ 151.00 │

 └────┴────────┴───────────┴────────┴────────┴────────┴─────────┘

 

Реализация алгоритма многомерного регрессионного анализа начинается с расчета важнейших статистических характеристик исходной информации и матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции.

 

 

Рассмотрим более подробно вариационные характеристики переменной у:

 

. число наблюдений                    25

. среднее значение                    52.2440

. верхняя оценка среднего             54.5134

. нижняя оценка среднего              49.9746

. среднеквадратическое отклонение      6.6138

. дисперсия                           43.7425

. дисперсия (несмещ. оценка)          45.5651

. среднекв. откл. (несмещ. оценка)     6.7502

. среднее линейное отклонение          5.0938

. моменты начальные

. 2-го поpядка                 2773.1780

. 3-го поpядка                1.4943e+05

. 4-го поpядка                8.1668e+06

. моменты центpальные

. 3-го поpядка               -2.1613e+01

. 4-го поpядка                5.1166e+03

. коэффициент асимметрии 

. значение                       -0.0747

. несмещенная оценка             -0.0796

. среднекв. отклонение            0.4637

. коэффициент эксцесса   

  . значение                       -0.0000

. несмещенная оценка              0.2846

. среднекв. отклонение            0.9017

. коэффициенты вариации 

. по pазмаху                      0.5264

. сpеднему линейному откл.        0.0975

. сpеднеквадp. откл.              0.1266

. медиана                             52.0000

. мода                                48.5000

. минимальное значение                37.0000

. максимальное значение               64.5000

. размах                              27.5000

 

 

 Проанализируем их.

Средняя продолжительность жизни в странах Африки – 52,244 года. Она вычисляется по формуле средней арифметической невзвешенной:

_

у =  Σу_i/n

где n – объем исследуемой совокупности.

Дисперсия в нашем случае равна 43,7425. Она представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формуле:

               _

σ² = Σ (у _I – у )² / n

 

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из дисперсии, и в нашем случае σ = 6,6138, то есть значение продолжительности жизни в среднем отклоняется на 6,6138 лет.

А среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

_        _

d = Σ |у_i -y| / n,   

которое в нашем случае равно 5,0938 и представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.

Коэффициент вариации среднеквадратического отклонения в исследуемой нами совокупности равен Vσ = 0,1266 или 12,66%, который вычисляется по формуле:

          _

Vσ = σ / у * 100%.

Коэффициент вариации характеризует не только сравнительную оценку вариации, но и дает характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%, то есть наша совокупность является однородной.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающегося в совокупности. Она рассчитывается по формуле:

М_о = у_Мо  + i_Мо * (f_Мо – f_Мо-1)/(f_Мо – f_Мо-1)*(f_Мо – f_Мо+1)

То есть по Африке наиболее часто встречающееся значение продолжительности жизни равно 48,5 лет.

 

Медиана – значение признака, приходящегося на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Ме = у_Ме  + i_Ме * (0,5 Σf – S_Ме-1)/f_Ме.

Таким образом, в нашем случае в половине стран Африки население имеет среднюю продолжительность жизни менее 52 лет, а в другой половине – более 52 лет.

 

Начальным моментом порядка k случайной величины х называют математическое ожидание величины х^к:

ν_к  = М (х^к),

в частности ν₁ = М (х), ν₂  = М (х²).

В нашем случае

начальные моменты равны:

. 2-го поpядка                 2773.1780

. 3-го поpядка                1.4943e+05

. 4-го поpядка                8.1668e+06

Центральным моментом порядка k случайной величины х называют математическое ожидание величины (х – (М (х))^к, в частности

μ₁ = М[х – М (х)] = 0; μ₂ = М[ ( х – М (х))²] = D (х).

В нашем случае центральные моменты равны:

. 3-го поpядка               -2.1613e+01

. 4-го поpядка                5.1166e+03

 

Теперь рассмотрим нашу совокупность на предмет симметрии.

Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В статистике для характеристики асимметрии используют показатели асимметрии и эксцесса.

Так как видно, что наша совокупность асимметричная, найдем степень асимметрии. Сперва используем коэффициент асимметрии:

    _

А_s = (у – Мо)/ σ = 0,4637,

что свидетельствует о наличии незначительной правосторонней асимметрии (А_s>0).

Теперь рассчитаем показатель эксцесса:

Е_К = μ₄/ σ⁴ – 3, где μ₄ – центральный момент четвертого порядка.

Е_К  = 0,9017, следовательно, распределение стран Африки по продолжительности жизни является островершинным (Е_К>0).

Кроме того, взглянув на нашу совокупность, можно увидеть, что максимальная продолжительность жизни жителей стран Африки равна у_max=64,5 лет, а минимальная у _min=37 лет.

Размах данной совокупности равен у_max  - у _min  = 27,5 лет.