Свойства области сходимости

Z преобразование

И так, перейдем к Z-преобразованию, которое аналогично преобразованию Лапласа для непрерывных сигналов. Эти преобразования имеют схожую связь с преобразованием Фурье.

Для чего это нужно? Во первых, Фурье преобразование определено далеко не для всех последовательностей, Z-преобразование применимо для более широкого класса сигналов. Во вторых, аналитическая запись Z-преобразования более удобная, чем преобразования Фурье.

Как мы проходили ранее, преобразование Фурье дискретного сигнала (последовательности) имеет вид

Заменим  на Z. Тогда получим

Такой степенной ряд называется рядом Лорана и очень подробно изучается в ТФКП

Такая подстановка ( ) означает ограничение переменной z в Z преобразовании на единичную окружность.

Z преобразование, как функцию комплексной переменной, удобно описывать с помощью комплексной плоскости. Геометрическое место точек |z| = 1 на ней (плоскости), удовлетворяющих условию |z| = 1, представляет собой окружность единичного радиуса с центром в нуле.

Z-преобразование, вычисляемое только на единичной окружности, совпадает с преобразованием Фурье.

– угол между радиус вектором и действительной осью. При вычислении Х(z) в точках единичной окружности, начиная с z=1 ( ) и далее, в направлении z=-1 ( ) через z=j ( ) мы получаем Фурье образ на промежутке ( . Продолжая, мы найдем значение Фурье-образа на всем периоде.

При Фурье преобразовании мы имеем функцию от вещественной переменной, изменяющейся вдоль частотной прямой.

Интерпретация Фурье преобразования, как ограничения переменной z единичной окружностью, концептуально означает, что мы частотную ось обернули на единичную окружность. При этом, периодичность получается сама собой, как изменение угла на 2  радиан.

Область сходимости

 И так, как мы знаем, степенной ряд Фурье сходится далеко не для всех последовательностей (т.е. значение бесконечной суммы может не быть конечным). Так же и для Z преобразований – оно сходится не для всех последовательностей.

Множество тех значений z, при которых степенной ряд сходится, называют областью сходимости.

Например, последовательность единичного скачка u[n] не сходится, следовательно, ее Фурье образ не сходится. Однако, u[n]z^-n сходится при значениях z>1, Это означает, что Z преобразование единичного скачка существует, а его область сходимости описывается неравенством |z|>1

Правило: если область сходимости включает в себя единичную окружность, то сходится соответствующий Фурье образ. Верно и обратное: если единичная окружность не входит в область сходимости, то Фурье образ не сходится

Z преобразование наиболее полезно и замечательно, когда бесконечная степенная функция Х(z) может быть выражена в виде компактного полинома X(z)=  где P(z) и Q(z) – многочлены переменной z. Значения z, при которых Х(z) обращается в ноль, называют нулями, а значения z, при которых Х(z) обращается в бесконечность – полюсами.

Полюса рациональной функции Х(z), расположенные в конечной области комплексной плоскости, совпадают с нулями знаменателя Q(z). Кроме того, полюса могут появляться в точках z=0 и z= .

По расположению полюсов можно судить об области сходимости соответствующего ряда

Свойства области сходимости

1 свойство: область сходимости – это кольцо или круг с центром в нуле

2 свойство: преобразование Фурье последовательности x[n] сходится тогда и только тогда, когда область сходимости Z преобразования этой последовательности содержит единичную окружность

3 свойство: ОС не может содержать ни одного полюса

4 свойство: ОС Z преобразования конечного сигнала (сигнала с ненулевыми отсчетами, расположенными в конечном интервале) – вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, z=0 и z= .

5 свойство: область сходимости правосторонней последовательности – последовательности с нулевыми отсчетами при n<N< , представляет собой «внешность» круга с центром в нуле, на границе которого расположен полюс функции Х(z) с максимальным модулем

6 свойство: область сходимости левосторонней последовательности – последовательности с нулевыми отсчетами при - <N<n представляет собой «внутренность» круга с центром в нуле (возможно вместе с центром), на границе которого расположен полюс функции Х(z) с минимальным модулем

7 свойство: область сходимости двусторонней последовательности (т.е. не являющейся ни правой ни левой) представляет собой кольцо с центром в нуле, на границах которого расположены полюсы функции, а внутри кольца их нет

8 свойство: область сходимости должна быть связной (любые две точки можно соединить кривой, целиком лежащей в этой области)

Пример. Правосторонняя экспоненциальная последовательность

Рассмотрим сигнал x[n]=aⁿu[n]. Так как его ненулевые отсчеты могут быть только при n>0, это правосторонняя последовательность.

Z-преобразование такой последовательности имеет вид

Для сходимости достаточно неравенства

Таким образом, в область сходимости входят те значения z, для которых

|az^-1|<1 или, что тоже самое, |z|>|a|

Внутри области сходимости, ряд сходится к функции

Тут мы воспользовались формулой суммы геометрической прогрессии.

ОС z-преобразования не пуста для любого конечного значения |a|. С другой стороны, Фурье –образ этой последовательности определен лишь для a c |a|<1. Если a=1 то последовательность превращается в единичный скачек с z-преобразованием