Обратное Z преобразование

Соответствие между дискретной последовательностью чисел и ее z-преобразованием является взаимно-однозначным. Формула перехода от z-преобразования к последовательности чисел называется обратным z-преобразованием и формально записывается следующим образом:

Интеграл берется по произвольному контуру, расположенному в области сходимости и охватывающем все полюсы

Практическое вычисление обратного z-преобразования чаще производится путем разложения функции X(z) на простые дроби. Поясним это на несложном примере. Пусть

Представим дробь в виде суммы простых дробей

первое слагаемое соответствует скачку с амплитудой, равной 2, а второе —

дискретной показательной функции −2^−k, k ≥ 0.

Итак, искомая последовательность имеет вид:

Замечание: Чтобы рассчитать обратное z-преобразование, кроме функции X(z) нужно задать область ее определения. Результат, полученный в данном примере, соответствует области определения |z| > 1. При области определения |z| < 1/2 получится последовательность, экспоненциально затухающая в направлении отрицательных номеров отсчетов k.

Применение Z -преобразования

Функция передачи дискретной системы. Применим Z преобразование к свертке входной последовательности и импульсной характеристики. Согласно свойствам Z-преобразования мы получим:

Y(z) = X(z) H(z)

функция H(z), равная отношению z-преобразований выходного и

входного сигналов и представляющая собой z-преобразование импульсной характеристики системы, называется функцией передачи (transfer function) или системной функцией дискретной системы:

Известно, что дискретную систему можно описать при помощи разностного уравнения

Применив z-преобразование к обеим частям разностного уравнения, получим

Из этого получаем вид функции передачи

Таким образом, функция передачи физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным степеням переменной z.

Нули и полюсы

Так же как и в аналоговом случае, разложив числитель и знаменатель функции передачи на множители, мы получим функцию передачи в следующем виде:

Здесь k =b₀ — коэффициент усиления (gain), z­_i — нули функции передачи (zero), p_i — полюсы функции передачи (pole). В точках нулей H(z_i) = 0, а в точках полюсов H(p_i) → ∞. Некоторая специфика формулы разложения связана лишь с тем, что при записи функции передачи дискретной системы используются отрицательные степени переменной z.

В данном случае дискретная система описывается набором параметров {z_i}, {p_i}, k.

Для вещественных систем нули функции передачи являются вещественными либо составляют комплексно-сопряженные пары. То же относится и к полюсам. Коэффициент усиления при этом всегда вещественный. В случае комплексных систем никаких ограничений на значения рассматриваемых параметров не накладывается.