Проектировочные расчеты на прочность при изгибе

Изгибом называется такой вид нагружения бруса или другого элемента конструкции технологического оборудования (пролет кран-балки, стойка подъемника, ферма эстакады или опрокидывателя и др.) когда в его поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты (М_х, М_у) и поперечные (перерезывающие) силы (Q _х, Q _у), а такие силовые факторы как продольная сила, крутящий момент отсутствуют.

Прямой брус, работающий, главным образом, на изгиб, называется балкой (например, кран-балка, имеющая форму в виде двутавра).

Прочностной анализ начинается с определения опорных реакций (R). При плоском изгибе для балки как жесткого тела составляется три уравнении равновесия, расчетная схема балки при этом является статически определимой. Уравнения равновесия записывают в следующей форме (балка имеет две опоры А и В):

- сумма проекций всех сил на ось балки (ось z) равна нулю;

- сумма моментов всех сил относительно опоры А равна нулю;

- сумма моментов всех сил относительно опоры  В равна нулю.

Через опоры А и В проходят линии действия неизвестных реакций R _Ау R _В и уравнения получаются проще по виду. В уравнениях моментов условно принято, что момент силы, пытающийся повернуть балку относительно выбранного центра против часовой стрелки, положителен, в другую - отрицателен.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид

σ_{m ах} = М _{х m ах}/ W _х  ≤ [σ],

где W _х = J _х / |z_max| - момент сопротивления сечения при изгибе.

Условие прочности при изгибе позволяет решать три основные задачи:

1) проектировочный расчет – подбор сечений балок (т. е. расчет W _х ) при известных нагрузках (М _х) и материале балки ([σ])

W _х ≥ М _{х m ах} / [σ].

2) проверочный расчет – расчет прочности балок:

σ_{m ах} = М _{х m ах}/ W _х  ≤ [σ].

При рациональной конструкции σ_{m ах} > [σ], но не более 10 %, σ_{m ах} < [σ] не более 5 %.

3) определение допускаемых внешних нагрузок, т. е. расчет [М _х]

[М _х] = [σ]· W _х.

Условие прочности при совместном действии изгибающего и крутящего моментов запишется следующим образом

σ_пр =  ≤  [σ].

Допускаемые нормальное и касательное напряжения при действии статической нагрузки, например, для стали Ст3 принимают равными: при растяжении, сжатии и изгибе [σ] =160 МПа, при срезе [τ] = 100 МПа.

При одновременном действии изгибающего момента и продольной силы Р, вызывающей сжатие или растяжение элемента, условие прочности имеет вид

σ = Р / F + М_и / W ≤ [σ].

Если при сжатии элемента имеет место и продольный изгиб, условие прочности запишется так

σ = Р / φ_мF  ≤ [σ],

а в общем случае

σ = Р / φ_мF + М_и / W ≤ [σ],

где φ_м = 0,15 - 1,0 – коэффициент продольного изгиба в плоскости действия момента; значение φ_м зависит от гибкости элемента: чем меньше гибкость, тем больше φ_м.

Некоторые особенности имеет расчет на прочность при динамическом нагружении деталей. Отметим два характерных случая.

1. Динамическая нагрузка знакопостоянна и имеет конечное значение. Расчет на прочность ведется по той же схеме, что и при статическом нагружении, но по значению динамической нагрузки; при этом отношение динамического напряжения σ_д к статическому σ_ст будет численно равно коэффициенту динамичности К_дин:

К_дин = σ_д / σ_ст.

2. Динамическая нагрузка имеет ударный характер, т. е. за очень малое время, обычно исчисляющееся долями секунды, достигает весьма большого значения. Динамическое напряжение определяется по кинетической энергии удара Т. При продольном ударе

σ_д = ,

где Е и l – модуль упругости материала ударяющего тела и длина последнего.

Из этого выражения следует, что уменьшение модуля упругости или, что то же, уменьшение приведенной жесткости соударяющихся тел, позволяет снизить динамическое напряжение. С этой целью в системе технологического оборудования подъемников, кран-балок, и других подъемно-транспортных машин можно установить упругие элементы типа буферных пружин. Меньший эффект дает увеличение площади поперечного сечения тела, которое к тому же приводит к увеличению его массы и металлоемкости конструкции.

Если детали подвержены действию переменных нагрузок, то их разрушение происходит при напряжениях, меньших временного сопротивления материала, определенного при статических испытаниях. Явление снижения сопротивления материалов действию переменных нагрузок, сопровождающееся возникновением трещин, называется усталостью, а напряжение, соответствующее разрушению материала – пределом усталости. При расчете деталей на усталость обычно принимают значительно большие запасы прочности, чем при статическом нагружении.

Зная расчетные нагрузки, направление и место приложения сил, можно рассчитать элементы рабочего оборудования на прочность, используя приведенные выше соотношения. Так, стрелы кранов в вертикальной плоскости рассчитывают как консольные балки (фермы) на поперечный изгиб и продольное сжатие от сил, создаваемых натяжениями грузового и оттяжного канатов, а также весом стрелы. Толщину стенок гидроцилиндров подъемного оборудования определяют из условия прочности на разрыв при максимальном давлении рабочей жидкости. Оси (цапфы) рассчитывают на изгиб и смятие от воспринимаемой ими нагрузки; валы рассчитывают на изгиб и кручение по приведенному напряжению

 ≤ [σ_и],

где σ_и и τ_к – напряжения изгиба и кручения; – коэффициент приведения;  = 0,85 - 1,0.