Неравенства (в частности, линейные)

Неравенство – отношение двух частей, где вместо знака  стоит один из следующих:

 

·  - больше

·  - меньше

·  - больше или равно

·  - меньше или равно

 

 - строгие знаки – они не включают границу промежутка.  не может быть равен

 - нестрогие знаки – они включают границу промежутка.  может быть равен

 

· Если в неравенстве есть неизвестное, то его можно решить: найти промежуток значений, подставив которые в неравенство вместо неизвестного мы получим верное выражение

 

 

Ответ: , т.к. при подстановке вместо  любого числа больше  получится верное неравенство

 

· Следующие темы, рассказанные в главе про уравнения, верны и для неравенств:

 

o Практическое применение (составление неравенства по текстовой задаче)

o Степень неравенства (максимальная степень неизвестного)

o Область допустимых значений (ОДЗ; ограничения исходя из начального состояния)

 

· С неравенством, как и с уравнением, можно проводить арифметические действия над обеими частями. Но со следующими ограничениями:

 

o При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

o Возводить можно только в нечётные степени

 

· Алгоритм решения линейного неравенства (неравенства 1-й степени)

 

4. Сначала всё делается по аналогии с линейным уравнением. Чтобы найти корень надо перенести все сомножители с неизвестным в левую часть, а остальные в правую, а затем поделить уравнение на сомножитель неизвестного

 

 

5. Далее надо привести подобные слагаемые, т.е. сложить числа с неизвестным и числа без него

 

 

6. Затем уравнение необходимо разделить на число возле неизвестного. Если делить неравенство на отрицательное число, то его знак поменяется на противоположный! Слева всегда останется только неизвестное (т.к. любое число делённое само на себя – единица)

 

 

7. Далее надо нарисовать числовую ось и отметить на ней число справа. Если неравенство строгое, то отмечаем пустым кружком, если нестрогое – закрашенным ( )

 

8. Затем надо заштриховать ту сторону от отмеченной точки, которая соответствует неравенству (  - штрихуем слева,  - штрихуем справа)

 

 

9. Записываем ответ в виде:  и указываем заштрихованный промежуток. Если кружок пустой, то пишется круглая скобка, если закрашенный – квадратная ( ). У бесконечности скобка всегда круглая. В нашем примере итоговый ответ:

 

 

· Существуют также двойные неравенства - два линейных неравенства, записанные в особой форме

o Решать их надо следующим образом: путём проведения арифметических операций над всем неравенством (прибавление, вычитание, домножение, деление) необходимо оставить в центре только  и выписать получившийся промежуток в ответ

           

Не забывайте, что при домножении и делении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный!

 

Системы неравенств

 

Система неравенств – два или более неравенств, которые необходимо решить совместно.

Ответом к системе неравенств будет промежуток значений, подставив которые во все неравенства вместо неизвестного мы получим верные выражения.

Мы будем рассматривать только системы линейных неравенств

 

· Алгоритм решения системы неравенств

 

 

1. Надо решить каждое неравенство в отдельности. Все шаги также записываются в системе на соответствующем изначальному неравенству месте

 

 

2. Затем нарисовать числовую ось и отметить на ней соответствующие решениям промежутки шапочками. Не забыть закрасить или нет кружки ( )

 

 

3. Далее надо заштриховать область, которая находится под всеми шапочками. Если такой нет, то у системы нет решений

 

 

4. Заштрихованный промежуток мы и записываем в ответ. Если кружок пустой, то пишется круглая скобка, если закрашенный – квадратная ( ). У бесконечности скобка всегда круглая. В нашем примере итоговый ответ:

 

· Кстати, двойные неравенства можно переписать в виде системы неравенств с одним неизвестным