Уравнения (в частности, линейные)

2019-11-13

226

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

12 Следующая ⇒

Целые числа

Натуральные числа: (ими можно посчитать предметы).

Натуральное число – сумма единиц:

Отрицательные числа (противоположны натуральным):

Целые числа (отрицательные + натуральные + ):

· Модуль (абсолютная величина) – значение числа со знаком +

· Сложение – сумма единиц первого и второго чисел

(от перемены мест слагаемых сумма не меняется)

· Вычитание – операция, обратная сложению

· Частные правила и примеры

o Слагаемые можно менять местами, сохраняя знак

o Если из меньшего вычитается большее, то поменяйте их местами и поставьте минус

o Если из отрицательного числа вычитается другое число, то сложите их и поставьте минус

o Если вычитается отрицательное число, то минус меняется на плюс

o Прибавление и вычитание нуля

· Умножение

(от перемены мест сомножителей произведение не меняется)

· Деление показывает сколько раз одно число содержится в другом

, потому что 4 содержится в 12 три раза (т.е. )

o Деление - операция, обратная умножению: если то

o Иногда числа не делятся нацело

- делимое, - делитель, - частное, – остаток. Например,

Если числа делятся нацело, значит остаток от деления равен нулю.

· Правила определения знака при умножении и делении

Если мы делим или умножаем числа разных знаков, то будет минус. Если одинаковых, то плюс

· Частные правила и примеры





		На ноль делить нельзя!

· Делители числа – те числа, на которые делится данное число.

Например, делители числа – числа

Кратные числа – те числа, которые делятся на данное.

Например, для числа кратными являются числа

o Простые числа – те, что делятся только на и на само себя. Ряд простых чисел бесконечен:

o Каждое число можно представить в виде произведения своих простых делителей (делителей, которые являются простыми числами) в разных степенях

o Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – наибольшее число, на которое делятся оба данных числа

чтобы найти НОД двух чисел надо перемножить все их общие простые делители

o Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – наименьшее число, которое делится на оба данных числа

чтобы найти НОК двух чисел надо перемножить все их простые делители, но общие взять только раз

· Признак деления на 3

Число делится на , если сумма его цифр делится на

не делится на , т.к. , а не делится на

делится на , т.к. , а делится на

Признак деления на 9 аналогичен этому (сумма цифр делится на 9)

· Признак деления на 7

Число делится на , если результат вычитания

делится на 7

делится на , т.к. , а делится на

не делится на , т.к. , а не делится на

· Признак деления на 11

Число делится на , если сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на

не делится на , т.к.

делится на , т.к.

Обыкновенные дроби

- обыкновенная дробь, где - числитель, - знаменатель. Обыкновенные дроби – отдельные числа (как и целые), только записанные с помощью двух чисел. Они находятся между целыми и нужны, чтобы «обозначить часть чего-либо» (половина пирога, 2 куска яблока из трёх, …)

Рациональные числа – те, что представимы в виде обыкновенных дробей (

Иррациональные числа – те, что не представимы в виде обыкновенных дробей ( )

· Знак дроби (черта) заменяет знак деления

В связи с этим вытекают следующие правила:



		На ноль делить нельзя

· Если у дроби числитель больше знаменателя, то это неправильная дробь. Тогда у нее можно выделить целую часть

Дроби, у которых выделена целая часть, называются смешанными. А те, у которых числитель меньше знаменателя – правильными

o Не путать с умножением целого числа на дробь

o Чтобы вернуться назад нужно домножить целую часть на знаменатель и сложить с числителем

· Сокращение и домножение дробей (основное свойство дроби): если знаменатель и числитель умножить (или поделить) на одно и то же число, то дробь не изменится

o Сокращать можно только сомножители. Слагаемые сокращать нельзя!

тут ничего нельзя сократить:
так сокращать НЕЛЬЗЯ:
тут можно сократить:

· Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: нужно просто сложить (вычесть) числители

· Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: их нужно привести к общему знаменателю. Нужно умножить первую дробь на знаменатель первой и наоборот

· Умножение обыкновенных дробей: надо перемножить знаменатели и числители

· Деление обыкновенных дробей: надо перевернуть вторую дробь и перемножить их

Знаки при делении и умножении дробей определяются также, как и у целых чисел

Десятичные дроби

Десятичные дроби – тоже (как и обыкновенные) находятся между целыми и нужны, чтобы «обозначить часть чего-либо» (половина пирога, 2 куска яблока из трёх, …)

· При сложении и вычитании в столбик числа надо записывать «запятая под запятой».

При умножении надо сложить количество цифр после запятой у обоих чисел и на такое же количество поставить запятую у результата.
При делении надо перенести у обеих чисел запятую вперёд так, чтобы получились целые числа. И затем их уже и поделить

· Связь записи десятичных чисел (не только дробей) с разрядами

· Правило округления дробей: надо отделить нужное количество символов и последняя оставшаяся цифра зависит от первой отделённой

o Если первая отделённая цифра , то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на

o Если первая отделённая цифра , то последнюю оставшуюся цифру оставляем как есть

		увеличили на , т.к. после неё стоит
оставили как есть, т.к. после неё

· Десятичную дробь в обыкновенную

Надо записать дробную часть в числитель, а в знаменатель записать нужную степень десятки (10, 100, 1000, ...)

· Обыкновенную дробь в десятичную

a. 1-й способ: Разделить знаменатель на числитель столбиком

b. 2-й способ: Домножить дробь на такое число, чтобы в знаменателе появилась степень десятки (10, 100, 1000, ...)

Иногда обыкновенную дробь нельзя перевести в конечную десятичную дробь:

Проценты и пропорции

Степень числа

Возведение в положительную степень – умножение числа на само себя указанное количество раз

· Любое число в нулевой степени равно единице!

· Определение знака при возведении в степень:

o Положительное число в любой степени остается положительным

o Отрицательное число при возведении в степень становится положительным, если она чётная

, если - четное

, если - нечетное

Арифметический корень

Взятие корня степени – операция, обратная возведению в степень

· Чаще всего используются корни второй степени (квадратные корни). У них обычно не пишется цифра в левом углу

Далее в примерах будут только квадратные корни

· Корни чётных степеней имеют два разных по знаку решения, т.к. любое число в чётной степени становится положительным

По этой же причине под корнем чётной степени не может стоять отрицательное число

· Корень произведения – произведение корней. Т.е. корни можно разбивать на сомножители

С суммой и разностью так делать НЕЛЬЗЯ!

Это связано с тем, что , а

· Возведение корня в его степень даст число под корнем

Выражения

Выражение – то, что можно посчитать. Как правило, они состоят из чисел, скобок и арифметических операций .

· В выражениях необходимо соблюдать порядок действий (слева направо):

1. Скобки

2. Степень и корень

3. Деление и умножение

4. Сложение и вычитание

· Часто выражение содержит переменные – буквы, вместо которых нужно подставить числовое значение и посчитать выражение. Выражение, состоящее из произведения чисел и переменных называется одночленом ( ). Число в одночлене называется коэффициентом

o Все одночлены надо приводить к стандартному виду: на первом месте коэффициент, затем буквы в алфавитном порядке с соответствующими степенями

o Приведение подобных слагаемых – сложение одночленов с одинаковыми переменными в одинаковых степенях. Надо сложить только коэффициенты (а буквы переписать без изменений)

o Чтобы перемножить одночлены, надо перемножить их коэффициенты, а степени у соответствующих переменных сложить

· Выражение с переменными лучше сначала упростить (преобразовать), а уже затем подставлять значения. Как правило, это делается одним из двух способов:

a. Раскрыть все скобки (напрямую или через формулы) и привести подобные слагаемые

b. Разложить всё на множители (выносом за скобки, способом группировки, с помощью формул или делением многочленов) и сократить одинаковые (если речь идёт о дроби)

o Чтобы преобразовывать выражения нужно уметь раскрывать и выносить за скобки

o Иногда удается преобразовать выражение способом группировки. Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы при первом выносе за скобки в скобках остались одинаковые выражения. Тогда после этого можно вынести за скобки это выражение

o Также преобразовывать выражения нам помогут формулы сокращенного умножения

Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Куб суммы:
Куб разности:
Разность квадратов:
Сумма кубов:
Разность кубов:

o Многочлен – сумма (и/или разность) одночленов. Их можно делить в столбик по аналогии с целыми числами

Уравнения (в частности, линейные)

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные. Неизвестные – то, что надо найти

· Уравнения – удобный инструмент решения практических задач. Важно уметь составлять уравнения по тексту задачи. В этом заключается практическое применение уравнений

В кармане куртки у Васи было 4 пакета по 5 рублей. Когда он сложил эти деньги с деньгами из карманов штанов, то получил 30 рублей. Сколько рублей у него было в карманах штанов?

Пусть - деньги из карманов штанов (так как их ищем)

Тогда - получившееся уравнение

· Чтобы решить уравнение, надо найти корни уравнения, т.е. такие числа, которые при подстановке вместо будут давать равенство

Корнем уравнения является , потому что

· Максимальная степень неизвестного, которое входит в уравнение, называется степенью уравнения. Максимальное возможное число корней уравнения – его степень. Линейное: до 1-го корня, квадратное: до 2-х корней, кубическое: до 3-х корней и т.д.

· Область допустимых значений уравнения (ОДЗ) – промежуток числовой оси, в которых может находиться корень уравнения исходя из его начального состояния. ОДЗ надо выписывать в двух случаях: выражение под корнем должно быть (см. пример ниже) и знаменатель должен быть

У данного уравнения будет только один корень, т.к. не входит ОДЗ

· С левой и правой частями уравнения можно одновременно производить разнообразные действия:

o Прибавление и вычитание выражений

o Деление и умножение на выражения, не равные нулю!

o Возведение обеих частей в степень

o Взятие корня от обеих частей (если они обе положительны)

Т.к. исходные данные (левая и правая части) равны, то и результаты действий будут одинаковы

· Иногда решить уравнение можно следующим способом: перенести всё в правую часть и разложить на множители. А дальше необходимо воспользоваться следующим свойством: «Если произведение равно нулю, то какой-то из множителей равен нулю». И приравнять каждый из множителей к нулю

Нет решений

· Не путайте уравнения и выражения!

	Уравнения	Выражения
	Уравнения	Без переменных	С переменными
Что надо сделать?	Найти неизвестное	Подсчитать	Упростить, подставить переменную и подсчитать
Как выглядит?	Равенство, в котором есть неизвестное	Комбинация чисел и арифметичских операций, знака нет	Комбинация чисел, арифметичских операций и переменных, в которые надо подставить значения, знака нет
Как выглядит решение?	Каждое новое равенство с новой строки	Каждое преобразование через знак , цепочкой	Каждое преобразование через знак , цепочкой

· Алгоритм решения линейного уравнения (уравнения 1-й степени)

1. Чтобы найти корень надо перенести все сомножители с неизвестным в левую часть, а остальные в правую

2. Далее надо привести подобные слагаемые

3. Затем уравнение необходимо разделить на число возле неизвестного. Слева всегда останется только неизвестное (т.к. любое число, разделённое само на себя – единица), а справа появится корень уравнения

Системы уравнений

Система линейных уравнений – два или больше линейных уравнений, которые необходимо решить вместе. Для этого их объединяют фигурной скобкой

Количество неизвестных в системе, как правило, равно количеству уравнений. Это гарантирует единственность и существование решения

· Решение системы уравнений способом подстановки

1. Необходимо в одном из уравнений выразить одну из неизвестных. Удобно брать уравнение, где неизвестное стоит без сомножителя

2. Затем полученное выражение надо подставить в другое уравнение и решить его

3. Далее надо подставить найденную переменную в строку, в которой выражали первую переменную

Ответ:

· Решение системы уравнений способом сложения

Уравнения в рамках одной системы можно складывать (вычитать) между собой

Способ сложения заключается в том, чтобы сложить (вычесть) одно уравнение из другого, так чтобы какая-то из переменных взаимноуничтожилась

1. Необходимо сделать так, чтобы коэффициент при одной из переменных стал одинаковым в обоих уравнениях. Например, домножим второе уравнение на

2. Теперь вычтем из второго уравнения первое

3. Найденный корень необходимо подставить в любое из изначальных уравнений

Ответ:

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение с одним неизвестным, в котором это неизвестное присутствует во второй степени. Общий вид уравнения:

где - коэффциенты (числа) и

· Если в правой части у тебя стоит не ноль, а что-то другое, то перенеси всё налево и приведи подобные слагаемые

· Алгоритм решения квадратного уравнения


2019-11-13	226	Обсуждений (0)	0.00 из 5.00 0 оценок

12 Следующая ⇒

Обсуждение в статье: Уравнения (в частности, линейные)

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓