Момент инерции однородного стержня

Лекция 6

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент инерции материальной точки

Момент инерции м. т. и тел является скалярной величиной и широко применяется не только в физике, но и ряде других дисциплин: теоретическая, прикладная механика и т. д.

Моментом инерции м. т. относительно полюса называют скалярную величину, равную произведению массы этой точки на квадрат расстояния до полюса.

Момент инерции м. т. можно найти по формуле    

                                                   I₀ = m R²,                                      (6.1)

где m – масса м. т.; R – расстояние до полюса 0.

Единицей измерения момента инерции в СИ является килограмм, умноженный на метр в квадрате (кг×м²).

Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., поэтому момент инерции системы м. т.                     

                                             ,                               (6.2)

где mi – масса i-й м. т.; Ri – ее расстояние до полюса 0.

Моментом инерции системы м. т. или тела относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму произведений масс м. т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса 0.

При непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюса находится по формуле   

                                                                                             (6.3)

В случае момента инерции относительно полюса массу dm умножают на квадрат расстояния до неподвижной точки (полюса), а в случае момента инерции относительно оси – до неподвижной оси.

В декартовой системе координат сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающих в одной точке 0, равна удвоенному моменту инерции этого тела относительно этого же начала: 

                                                I_x + I_y+ I_z = 2I₀ .                                                    (6.4)

Теорема Штейнера

Для установления связи (рис. 5.1) между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей применяется теорема Штейнера (Штейнера – Гюйгенса):

                             I = I_c + md².          (6.5)

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции однородного стержня

Моменты инерции различных тел можно найти по формуле I = mmR²,

где – коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела и его расположения относительно оси вращения.

Найдем момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, перпендикулярно продольной геометрической оси симметрии (рис. 6.2). Пусть ось вращения ВВ проходит через правый конец стержня (т. Г), тогда   I = mL2,    где L длина стержня.

Согласно теореме Штейнера, имеем      .

Величину момента инерции Ic относительно оси, проходящей через центр масс (точка С), представим как сумму моментов инерции двух стержней с длинами ДС = СГ = L/2  и массой каждого, равной m/2 стержня, т. е.

             .

Подставим значения момента инерции I и I_c в формулу теоремы Штейнера – Гюйгенса и найдем m: .

После преобразования получим, что = 1 / 3.

Следовательно, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс,                                              (6.6)

относительно оси ВВ,                                                               (6.7)