Свободные оси вращения

 

Неподвижность осей вращения обеспечивается наличием опор на концах оси (вала) вращающихся тел - подшипников.

Рис. 6.6

Любое тело произвольной формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс, которые называютсвободными осями, или главными осями инерции.

Для тел правильной геометрической формы (куб, шар и др.) легко указать эти оси (оси симметрии, рис. 6.6).Главной особенностью осей вращения тел является то, что в отсутствие момента внешних сил относительно центра масс тело может неограниченно долго вращаться вокруг свободных осей и, что важно, положение осей остается неизменным в пространстве с течением времени. Согласно теории гироскопов, вращение будет устойчивым относительно главных осей инерции только в отсутствие внешних сил, причем наиболее устойчивым будет относительно оси I с максимальным моментом инерции, и минимальным - относительно оси II.

Относительно оси III наблюдается промежуточное состояние.

Это наглядно можно демонстрировать на ряде опытов, например, вращение стержня (рис. 6.7).

Рис. 6.7

При этом имеется в виду, что геометрические оси и оси вращения совпадают.

Для быстро вращающихся тел (роторы центрифуг, турбин и т. д.) эти оси совместить невозможно, поэтому используют насадки на гибкий вал.

Тогда при вращении физическая и геометрическая оси будут сближаться, т. е. система автоматически центрируется.

Например, центровка катушек акустических систем динамиков, громкоговорителей (зазор между магнитной системой заполняется магнитной жидкостью - дисперсный порошок магнетита). 

При включении напряжения катушка диффузора автоматически центрируется, что приводит к повышению качества звучания.

 

Гироскоп

 

При вращении твердого тела с закрепленной точкой опоры различают три оси вращения: 1- мгновенная ось, 2 - ось вращения тела, 3 - ось направления момента импульса.

Это положение широко применяется для массивных тел, вращающихся с большой угловой скоростью.

К таким телам относятся гироскопы.

Гироскопом называют массивное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг одной из главных осей инерции.

Гироскоп имеет ось симметрии, которая может совпадать с одной из свободных осей инерции, обычно это главная ось инерции, которой соответствует максимальный момент инерции.

Такую ось называют осью гироскопа.

Если при вращении гироскопа ось вращения не изменяет своего положения в пространстве, тогда вектор мгновенной угловой скорости лежит на этой оси (рис. 6.8).

Вектор момента импульса гироскопа

                                                

также направлен вдоль этой оси.

Если по каким-то причинам ось момента импульса меняет свое направление в пространстве, то изменяет свое положение мгновенная ось и ось гироскопа, т. е. если изменяется положение одной из осей гироскопа, то это влияет на положение других.

Если ось вращения гироскопа проходит через центр масс, тогда его вращение будет свободным, так как момент силы тяжести равен нулю при малых силах трения в подшипниках.

В технике для этих целей используют карданов подвес.

Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса гироскопа остается постоянным.

При неподвижном гироскопе его ось может быть направлена произвольно.

Рис. 6.8

 Но если он приведен во вращение, тогда ось будет сохранять направление в пространстве.

Картина резко изменяется, если на гироскоп начнет действовать внешняя сила (рис. 6.8).

 При этом возникает дополнительный момент импульса  по направлению, совпадающий с вектором момента внешних сил.

После сложения получим результирующий вектор

        ,     (6.17)

 

в направлении которого повернется на угол dj ось гироскопа и ось момента импульса.

Движение оси, вдоль которой направлен момент импульса гироскопа под действием внешних сил, называют прецессией.

При этом в движении задействованы все три главные оси вращения гироскопа:

 а) вдоль оси Х направлен вектор момента импульса гироскопа;

б) вдоль оси У направлен вектор момента силы тяжести; в) относительно оси Z происходит вращение гироскопа.

Найдем угловую скорость прецессии (рис. 6.9).

Приращение модуля вектора момента импульса

                                 dL = (L sin a) dj.

Рис. 6.9

По определению мгновенной скорости, имеем  

                   w_пр = .

Учитывая, что

                    dj = ,

получаем   

                   w_пр = . 

Из динамики вращательного движения известно, что  = M, где М = r mg sina;

(r = АС); [sin(p - a) = sina, рис. 6.9]. Следовательно, угловая скорость прецессии 

                               w_пр =         ( ).                  (6.18)

Угловая скорость прецессии прямо пропорциональна модулю момента силы тяжести и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа, и не зависит от угла наклона оси вращения гироскопа.

Конец вектора момента импульса  описывает при прецессии окружность радиуса R, лежащую в горизонтальной плоскости (рис. 6.9). Вектор момента силы тяжести   и вектор наведенного момента импульса , поворачиваясь одновременно при вращении гироскопа, остаются перпендикулярными вектору момента импульса . Кроме того, векторы ,  и взаимно перпендикулярны, тогда

                                                .

При вращении гироскопа на его опоры через ось оказывают давление гироскопические силы. Момент гироскопических сил равен по величине и направлению моменту приложенных к гироскопу всех внешних сил.

 Например, большие гироскопические силы возникают у винтомоторных самолетов, роторов турбин, вертолетов и т. п. Для устойчивого полета в автоматическом режиме ракет, снарядов, космических кораблей и т. д. устанавливают автопилоты, основными элементами их являются гироскоп и гирокомпас. Явление прецессии широко распространено в природе и технике.