Представление дробных чисел

В общем случае любое неотрицательное число (смешанную дробь), представленное в позиционной системе счисления, вида:

 

можно записать в виде полинома:

 

 

Здесь k – количество разрядов в дробной части числа, l – количество разрядов в целой части числа. Старший разряд имеет обозначение a_l-1, а младший – a_-k.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в k разрядах дробной части:

Q_min= m^{- k}.

Имея в целой части числа l, а в дробной k разрядов, можно записать всего m^l+k разных чисел.

12.Позиционные системы счисления: перевод целых чисел из одной системы счисления в другую, арифметические действия над числами без знака.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую происходит по определенным правилам (для целых и дробных чисел правила различны).

Если между основаниями двух систем счисления m и p соблюдается связь m¹= p^k, где k – целое положительное число, то перевод является наиболее простым и осуществляется по правилу 1.

Правило 1. Каждая цифра числа с основанием m представляется k цифрами системы счисления с основанием p и наоборот.

Правило 2. Перевод чисел из 8-ричной системы в 16-ричную систему и наоборот осуществляется через 2-ичную систему счисления.

Правило 3. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную осуществляется представлением этого числа либо в виде полинома (1), либо в виде схемы Горнера (2) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.

Правило 4. Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p надо переводимое число и целочисленные промежуточные частные последовательно делить на основание p-й системы счисления до тех пор, пока не будет получено целое частное, меньшее основания p. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, представляющего собой старшую цифру числа.

Для выполнения арифметических операций над числами, представленными в любой позиционной системе счисления надо пользоваться известными правилами арифметики.

l Сложение многоразрядных чисел начинается с младшего разряда и производится поразрядно с учетом единиц переноса из предыдущих разрядов.

l Вычитание двух многоразрядных чисел начинается с младших разрядов с учетом при необходимости переноса единиц (количество которых соответствует основанию системы счисления) из старших разрядов.

Умножение и деление двух многоразрядных чисел в любой системе счисления выполняется по правилам десятичной системы счисления.

Существует еще одна арифметическая операция, часто выполняемая над двоичными числами – сложение по модулю 2.

Эта операция выполняется поразрядно и определяется следующим образом:

                    

13.Позиционные системы счисления: перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Правило 1. Перевод правильных и неправильных дробей из одной системы счисления в другую, если основания этих систем являются степенями двойки, осуществляется по тем же правилам, что и для целых чисел.

Крайние триады (тетрады) слева и справа дополняются незначащими нулями в случае, если не хватает цифр до полной триады (тетрады).

Правило 2. Перевод правильных и неправильных дробей из любой системы счисления в десятичную осуществляется также как и для целых чисел, представлением этого числа либо в виде полинома (4), либо в виде схем Горнера (2, 5) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.

Правило 3. Для перевода правильных дробей в систему счисления с основанием p, последовательно умножают исходную дробь и дробные части промежуточных произведений на основание системы счисления p. Полученные в результате умножения целые числа произведения являются соответствующими разрядами дробного числа в системе счисления с основанием p.

Пример. Перевести 0, 3125₁₀ в двоичную систему счисления.

   0, 3125×2

  0 | 625×2

1 | 25×2

           0 |  5×2          

  1 | 0

Ответ: 0,3125₁₀=0,0101₂.

В частном случае, если знаменатель правильной дроби представляет некоторую степень цифры 2, т.е.

то числитель a переводится в двоичную систему счисления как целое число, которое записывается в k разрядах после запятой.

14.Представление отрицательных двоичных чисел. Прямой, обратный и дополнительный коды. Арифметические действия над числами с использованием дополнительного кода.

Существует несколько способов представления отрицательных двоичных чисел.

l Прямой (натуральный, симметричный, знаковеличинный) код.

Согласно этому коду число представляется посредством значения и знака, причем значение записывается в двоичной системе счисления, а бит знака занимает самый старший разряд поля представления двоичного числа. Если число положительное, то бит знака равен 0, если отрицательное, то 1.Семиразрядный натуральный двоичный код числа 28₁₀ = 0011100₂. Так как число положительное, то к указанному коду следует приписать слева 0 (бит положительного знака): [0011100₂]пр = 0.0011100₂.Если же число отрицательное (-28₁₀), то требуется добавить 1 (бит отрицательного знака): [-0011100₂]пр =1.0011100₂.

l Обратный код.

Обратный код отрицательного двоичного числа формируется заменой всех нулей прямого кода этого числа на единицы, а всех единиц на нули, кроме бита знака. Обратный код числа [-0011100₂]обр = 1.1100011₂.

Принято, что обратный код положительного числа полностью соответствует прямому.

Возможно получение обратного кода отрицательного числа в любой системе счисления. В этом случае цифры числа определяются из соотношения

где m – основание системы счисления,

a – цифра числа, записанного в прямом коде.

l Дополнительный код.

Для получения дополнительного кода отрицательного двоичного числа надо к обратному коду числа прибавить единицу

Принято также, что дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом.

В ЭВМ для представления отрицательных чисел и выполнения двоичных арифметических операций над целыми числами используется дополнительный код. При этом арифметические операции над двоичными числами без знака ничем не отличаются от подобных операций над двоичными числами со знаком, если последние представлены своими дополнительными кодами.

Дополнением числа A будет число

Aдоп = K – A > 0, где K = mⁿ – константа дополнения, m – основание системы счисления, n – максимальное количество разрядов для представления чисел.

Примеры.Пусть m=10, n=7, A=75, тогда K=10⁷=10000000₁₀,

Aдоп = 10000000

         -    75

           9999925

 Пусть m=2, n=7, A=11, тогда K=2⁷=10000000₂,

       Aдоп = 10000000

                   -      11

                     1111101

15.Представление символьной информации в ЭВМ. Код ASCII.

Поскольку байт имеет 256 различных состояний, то с помощью 1 байта можно закодировать 256 различных символов. Состояние байта (числа от 0 до 255₁₀, 377₈, FF₁₆) при этом будет представлять код одного из символов.

Наиболее распространенным двоичным кодом как для передачи по каналам связи, так и для представления символов в ЭВМ является код ASCII (American Standard Code for Information Interchange – Американский стандартный код для обмена информацией).

Для возможности кодировки русского текста используется его расширение до 8 битов (КОИ-8).

Основной стандарт является международным и используется для кодирования управляющих символов, цифр и букв латинского алфавита; в расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национального алфавита (естественно, в разных странах разные).

ASCII (англ. American Standard Code for Information Interchange) — американская стандартная кодировочная таблица для печатных символов и некоторых специальных кодов. В американском варианте английского языка произносится [э́ски], тогда как в Великобритании чаще произносится [а́ски]; по-русски произносится также [а́ски] или [аски́].
ASCII представляет собой кодировку для представления десятичных цифр, латинского и национального алфавитов, знаков препинания и управляющих символов. Изначально разработанная как 7-битная, с широким распространением 8-битного байта ASCII стала восприниматься как половина 8-битной. В компьютерах обычно используют расширения ASCII с задействованной второй половиной байта (например КОИ-8).

16.Формы записи чисел.

В ЭВМ применяются две формы представления двоичных чисел:

l естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

В естественной форме все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Достоинствами этой формы являются простота, естественность, наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации арифметических операций и выполняющих их устройств, а, следовательно, высокая скорость выполнения операций.

Но она имеет существенный недостаток – небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях.       

Диапазон значащих чисел Q в системе счисления с основанием m при наличии l разрядов в целой части и k разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) будет:

       m^-k ≤ Q_m≤ m^l – m^-k.

В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел, при этом запятая строго устанавливается после младшего разряда.

В нормальной форме каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая – порядком. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

                              Q_m = ±M×m^±p,                                             

где М – мантисса числа (|М| < 1); p – порядок числа (p – целое число); m – основание системы счисления.

Для однозначности представления чисел используется нормализованная форма, при которой абсолютная величина мантиссы должна отвечать условию
                    1/m ≤ |M| < 1.

       Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась правильной дробью, ограничение слева – чтобы после запятой присутствовала значащая цифра (не 0).

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.

17.Формат представления чисел с фиксированной точкой.

Форматы с фиксированной точкой применяется для представления целых чисел. Обычно используют 2 формата:

l с обычной точностью (короткий формат, формат H);

l с двойной точностью (длинный формат, формат F)

В первом случае для размещения двоичного кода используют 2 байта, во втором 4 байта. Во всех форматах знак числа занимает место перед старшим разрядом числа и кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак "+", код 1 – знак "-". Это место разрядной сетки называется знаковым разрядом.

Если в результате выполнения арифметической операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, результат искажается, и дальнейшие вычисления теряют смысл.

Для представления чисел в нормальной форме используются форматы разной длины.

Важно отметить, что положительные и отрицательные числа представляются в формате с фиксированной точкой в дополнительном коде.

В общем случае в разрядной сетке форматов должны отводиться места для знака мантиссы (старший 31 разряд), знака порядка (предшествующий 30 разряд), значения порядка (например, 7 разрядов с 29-го по 23-ый), в остальные 23 разряда (с 22-го по 0-ой) записывается мантисса числа.

18.Формат представления чисел с плавающей точкой в СМ ЭВМ

В разных ЭВМ используются различные форматы с плавающей точкой.

В СМ ЭВМ, а также в некоторых мини и микроЭВМ, например PDP-11, используются 2 формата: с обычной точностью (4 байта) и с двойной точностью (8 байт). Особенностями нормальной формы в СМ ЭВМ являются следующие:

l Смещение числовой оси порядков в область положительных значений для облегчения действий над порядками, не имеющими знака.

       В СМ ЭВМ во всех форматах 8 разрядов отводится под значение порядка и его знак. Следовательно, числовая ось порядков находится в диапазоне
-2⁷ ≤ p ≤ 2⁷-1 или -128 ≤ p ≤ 127.

       Смещенный порядок определяется смещением порядка на
+2⁷ = 128₁₀ = 80₁₆, т.е. p_х = p + 80₁₆ не имеет знака.

        Смещенный порядок может принимать значения в диапазоне
 0 ≤ p_х ≤ 255₁₀ = FF₁₆, и под его значение отводятся все 8 разрядов.

       Очевидно, если p_х = 80₁₆,то p = 0, если p_х < 80₁₆ ,то порядок отрицательный (p < 0), при p _х > 80₁₆ – порядок положительный (p > 0).

В СМ ЭВМ старшая 2-ичная цифра нормализованной мантиссы должна быть 1. Это позволяет не хранить её, а только предполагать её наличие. Такое представление как бы увеличивает разрядность мантиссы (т.е. в операциях участвуют 24 (для чисел одинарной точности) и 56 разрядов (для чисел двойной точности)) а значит и точность расчетов.

19.Представление чисел с плавающей точкой в соответствии со стандартом IEEE

IEEE-арифметика предусматривает два формата с плавающей точкой:

l  обычной точности (короткое вещественное, КВ, single). Длина 4 байта, смещенный порядок занимает 8 бит, мантисса – 23 бита;

l  двойной точности (длинное вещественное, ДВ, двойное слово, double). Длина 8 байтов, смещенный порядок занимает 11 бит, мантисса – 52 бита.

Кроме того, в IBM PC используется также третий формат:

l повышенной точности (временное вещественное, ВВ, расширенное слово, extended). Длина 10 байтов, смещенный порядок занимает 15 бит, мантисса – 64 бита.

Эти форматы имеют следующие особенности:

1) Мантисса всегда записывается в виде: ±(1+M). Т.е. у записи мантиссы есть целая часть, всегда равная 1. В форматах КВ и ДВ эта единица прямо в мантиссе не представляется, а учитывается неявно при выполнении операций. В формате ВВ старший бит мантиссы представляется явно.

2) Порядок записывается в смещенном виде, однако величина смещения в разных форматах разная:

l в КВ – 2⁷ – 1 = 127₁₀ = 7F₁₆,

l в ДВ – 2¹⁰ – 1 = 1023₁₀ = 3FF₁₆ ,

l в ВВ – 2¹⁴ – 1 = 16383₁₀ = 3FFF₁₆.

Таким образом, возможные значения смещенного порядка лежат в пределах:

l в КВ – 0 ≤ p_х ≤ 254₁₀ = FE₁₆,

l в ДВ – 0 ≤ p_х ≤ 2046₁₀ = 7FE₁₆,

l в ВВ – 0 ≤ p_х ≤ 32766₁₀ = 7FFE₁₆.

Формат КВ (как и формат обычной точности в СМ ЭВМ) позволяет представить максимальное число ≈10³⁸, формат ДВ уже ≈10³⁰⁸, а формат ВВ ≈10⁴⁹³². Точность представления чисел приближенно соответствует:

l в КВ – 7-8 значащих десятичных цифр,

l в ДВ – 15-16 значащих десятичных цифр,

в ВВ – 19-20 значащих десятичных цифр.

20.Двоично-десятичный код.

В двоично-десятичной (BCD – Binary-Coded Decimal) или более точно двоично-кодированной десятичной системе (ДКДС) каждую цифру десятичного числа представляют в виде четырехразрядного двоичного числа (тетрады) и в таком виде записывают последовательно друг за другом.

Пример. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

Расширением двоично-десятичного кода является расширенный двоично-десятичный код обмена информацией (EBCDIC – Extended Binary-Coded Decimal Interchange Code), который преобразует как числовые, так и буквенные строки.

В этом коде для каждой десятичной цифры отводится по целому байту, при этом старшие полубайты каждого байта заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом), а в младших полубайтах обычным образом кодируются десятичные цифры.

21.Понятие сигнала. Структурная схема одноканальной системы передачи информации. Классификация систем передачи информации.

 

 

22.Понятие модуляции. Виды модуляции.

23.апр

 

 

24.

 

 

25.пош

 

26.одж

 

 

27.апр

 

28.апр

 

 

29.апр

 

30.апр

 

 

31.ап

 

32.ра

 

 

33.пр

 

34.апап

 

 

35.апр

 

36.апр

 

 

37.апр

 

38.апр

 

 

39.апр

 

40.апр

 

41.ыва

 

42.ар

 

43.апр

44.апр

45.апр

46.апр

47.ар

48.апр

49.апр

50.апр

51.апр

52.апр

53.апр

54.апр

55.апр

56.апр

57.апр

58.апр

59.апр

60.апр

61.апр