Тойчивость при упругой работе

Поведение центрально-сжатого стержня удобно рассмотреть на простом мысленном эксперименте. Представьте себе тонкую сталь­ную линейку, нижний конец которой зажат в тисках, а к верхнему прикреплен груз, характеризующий собой продольную силу К Пока эта сила мала, стержень остается прямым, причем прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Это значит, что если стержню придать другую форму (например, отклонив верхний конец в сторону, а затем отпустив его), то после нескольких колебаний стержень вернется в первоначальное положение, став снова прямым. При достижении силой N критического значения стержень уже не возвратится к исходной прямолинейной форме, а его колебания по­сле нашего вмешательства (включая попытки выпрямить линейку) каждый раз будут затухать на некоторой новой и всегда одинаковой для данной силы форме равновесия с небольшим, но вполне опре­деленным отклонением верхнего конца в ту или другую сторону. Произойдет бифуркация (разветвление) форм равновесия, причем теоретически возможная прямолинейная форма равновесия станет неустойчивой, а смежная криволинейная форма — устойчивой. Не­значительное увеличение силы N будет приводить к весьма замет­ным искривлениям со стрелками, строго соответствующими значе­ниям приложенной силы.

Графическое описание поведения сжатого стержня называют диаграммой равновесных состояний (рис.6.9). Точка а соответствует точке бифуркации.

в которой dN / df =0 (рис.6.9), называют предельной точкой. Далее равновесие становится возможным только при снижении продольной силы, поэтому-стержень, будучи загруженным силой N , разруша­ется. Продольная сила, соответствующая пре­дельной точке, весьма мало отличается от силы в точке бифуркации, поэтому последнюю будем принимать в качестве меры несущей способности центрально-сжатого стержня.

Таким образом, задача расчета сводится к оты­сканию силы, способной удержать в равновесии искривленный стержень, выполнить условие рав­новесия

Заметим, что в данном случае общее решение дифференциаль­ного уравнения (6.15), представляющее собой сумму двух частных решений, можно записать непосредственно без использования фор­мальных математических приемов. Эти частные решения соответст­вуют функциям, вторые производные которых равны значениям ис­ходных функций с обратным знаком: у" = -ку. Такому условию удов­летворяют синус и косинус, следовательно,

Из множества кривых, удовлетворяющих этому уравнению, мы Должны выбрать те, которые соответствуют граничным условиям нашей задачи, т. е. пройдут через опорные точки (рис.6.10). Первое граничное условие (при х=0, у=0) позволяет записать

реализация которого возможна в двух случаях:

1) при f = 0 и произвольных значениях к и, следовательно, силы N (а это значит, что теоретически - но только теоретически -возможно равновесие при сколь угодно большой силе N );

2) при sinkl=0

Первый случай нам не интересен - он характеризует прямоли­нейную, форму равновесия, которая при реализации второго усло­вия становится неустойчивой. Второй случай определяет крити­ческое состояние, т.е. искомое состояние равновесия искривлен­ного стержня. Подставляя значение к из последнего условия в равенства (6.15) и (6.17), найдем форму искривления стержня в критическом состоянии и силу N , способную обеспечить это искривление. Такую силу, соответствующую упругой работе стержня, принято называть эйлеровой силой

Если вы последовательно запишете эти формулы для различных значений п (п~1; п—2; и=3; ...) и нарисуете соответствующие -им кривые для 1-й, 2-й, 3-й, ... форм потери устойчивости, to убеди­тесь, что. п - это количество полуволн синусоиды, а 1/п -расстояния между точками ее перегиба. На этом * основании введем понятие расчетной (приведенной) длины стержня /о как расстояния между точками перегиба его изогнутой оси:

Аппарат расчетных длин, основанный на формулах (6.20) и (6.21), широко используют при выполнении практических расчетов. Его применение основано на следующих положениях:

• при потере устойчивости упругий центрально-сжатый стер­жень изгибается по синусоиде, причем в пределах длины стержня укладывается часть этой синусриды, соответствующая кинематиче­ским условиям его закрепления;

• сила, способная обеспечить образование одной полуволны си­нусоиды, определяется по формуле (6.21).

Это позволяет указать простые приемы определения приведен-* ной длины стержня (рис.6.11) и его дальнейшего расчета. В соответ­ствии с условиями закрепления заданного стержня длиной / строят часть синусоиды, соответствующую этой длине и условиям закреп­ления стержня, определяют длину ее полуволны 4 и по формуле (6.21) вычисляют эйлерову силу. Когда граничные условия четко не определены, что имеет место для стержней плоских и пространст­венных ферм, элементов ступенчатых колонн и т.п., расчетные дли­ны следует определять с учетом рекомендаций норм проектирова­ния.

При назначении расчетных длин стержней переменного сечения в формулу (6.20) вводят дополнительный коэффициент опреде­ляемый по табл.6.1, т.е вычисляют расчетную длину по формуле