Принужденный ток в индуктивности в первый момент после коммутации

Переходные процессы в RL-цепи постоянного тока.

 

ДО ПОСЛЕ

1.1 Независимые начальные условия (ННУ) – токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах определяются для электрической цепи до коммутации.
i_L(0_-)= 0 A.

1.2 Дифференциальное уравнение.

U_L +U_R3 =E, где i_E=i_L , U_L=Ldi_L/dt, U_R=i_R*R;
Тогда получим : i_L*R₃+ U_L =E =>
=> i_L*R₃+ Ldi_L/dt =E

 

1.3 Частное решение i_LПР ЛН ОДУ определяется, когда переходные процессы завершатся и в цепи будет протекать постоянный ток

Ток после коммутации
i_LПР=E/(R₃)=200/1= 200 A.

 

1.4 Общее решение i_LСВ Общее решение находим, приравнивая дифференциальное уравнение нулю

i_L*R₃+ Ldi_L/dt =0, ищется в виде

Решение ищется в виде i_LСВ=Ае^pt,

где: А – постоянная интегрирования, р– корень характеристического уравнения, t – время.
1.5 Характеристическое уравнение записывается из дифференциального путем замены di_LСВ/dt=>p и i_LСВ=>1, Получим:
1*R₃+ Lp =0

Корень этого уравнения
Р=-R₃/L=-1/0.002=-500 с^-1.

1.6 Постоянная интегрирования определяется из начальных условий при t=0.

Тогда

i_LСВ(0₊)=Ае^p0.

По первому закону коммутации

i_L(0-)=i_L(0₊)=i_LПР(0₊)+i_LСВ(0₊)

и тогда

А=i_LСВ(0₊)= i_L(0-)-i_LПР(0₊)= 0-200 = -200 А.

1.6.1 Общее решение ЛО ОДУ получим после подстановки

i_LСВ= -200е ^-500t A.

1.6.2 Решение i_L ЛН ОДУ, состоящее из частного i_LПР и общего i_LСВ решений, получим в виде

i_L=i_LПР+i_LСВ= 200-200е ^-500t A.

1.7 Напряжение на индуктивности получим путем дифференцирования уравнения для тока в индуктивности

u_L= L*di_L/dt=A*p*L *е^{p* t} = -200*(-500)*0.002*е^-000t= 200е^-500t В.

1.8 Диаграммы напряжения и тока τ=0…1/|p|= 0.002 c .

	i

t

 

	u

t

Рисунок 1 – Переходные процессы катушки индуктивности

Переходные процессы в RL-цепи переменного тока

2.1 Схемы цепей переменного и постоянного токов отличаются обозначением ЭДС. 

1) Частота f=1/T=1/τ=|p|=500 Гц, ω=2πf= 3142 рад/с.

2) Начальная фаза ЭДС по ψ_E=10⁰*N_ВАР=230⁰.

3) Уравнение ЭДС по e=√2Esin(2πft+ψ_E)= 283sin(3142t+230⁰) В.

4) Комплексное сопротивление катушки xL= ωLj=3142 *0.002*j = j6.28Ом

 

Независимые начальные условия (ННУ)

Комплексная амплитуда E_M=-182-j217 = 283e^j230 B.
Комплексное сопротивление Z L_0-=∞ Ом.

Ток через индуктивность

I_ML0-= (E_M/zL₀) = 0 A.

Мгновенное значение тока

i_L0-(t)=I_ML0-sin(ωt+ψ_I0-)= 0 A.

Ток в индуктивности в последний момент перед коммутацией

i_L(0_-)= 0 A.

2.3 Дифференциальное уравнение. Такое же, как для R-L цепи постоянного тока.

 

Решение i_L полученного линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения представляется суммой частного решения i_LПР и общего решения i_LСВ линейного однородного ОДУ, т.е

i_L=i_LПР+i_LСВ

 

2.4 Частное решение i_LПР  определяется, когда переходные процессы завершатся.

Комплексное сопротивление цепи после коммутации

Z= xL+R₃= 1+j6.28  Ом.

 

Принужденный ток в катушке после коммутации
I_MLПР= E_M/Z =(-182-j217)/( 1+j6.28 )=-38+j23=44e^j149 A.

 

Мгновенное значение тока в индуктивности

i_MLПР=I_MLПРsin(ωt+ψ_IПР)= 44sin(3142*t+149⁰) A.

 

Принужденный ток в индуктивности в первый момент после коммутации

i_LПР(0₊)= 44sin(+149⁰)=22.8 A. 

2.5 Общее решение i_LСВ  точно такое же как и при постоянном токеR-L цепи, поскольку свободная составляющая не зависит от источника энергии.

 

Решение так же ищется в виде

i_LСВ=Ае^pt,

где: А – постоянная интегрирования, р– корень характеристического уравнения, t – время.

2.6 Характеристическое уравнение точно такое же как характеристическое уравнение R-L цепи постоянного тока

Корень этого уравнения

Р=-R₃/L=-1/0.002=-500 с^-1.

2.7 Постоянная интегрирования определяется из начальных условий при t=0.

Тогда

i_LСВ(0₊)=Ае^p0

По первому закону коммутации

i_L(0-)=i_L(0₊)=i_LПР(0₊)+i_LСВ(0₊) и тогда

А=i_LСВ(0₊)= i_L(0-)-i_LПР(0₊)= 0-22.8 = -22.8 А.

2.8 Общее решение получим из формулы i_LСВ(0₊)=Ае^p0

i_LСВ= Ае^p0 = -22.8е^-t500A.

2.9 Решение i_L  состоящее из частного i_LПРи общего i_LСВ решений, имеем в виде

i_L=i_LПР+i_LСВ= 4.4sin(3142*t+149⁰) -22.8е^-t500A.

Диаграммы токов

τ=0…1/|p|=0.002c. (График построен по радианам 149⁰=149⁰*3.14/180 рад.)

 

t

i

i

Рисунок 2 – Переходные процессы в катушке индуктивности

3 Переходные процессы в RС-цепи постоянного тока .
ДО ПОСЛЕ

3.1 Независимые начальные условия (ННУ)
I_E(0_-) = 0 A
u_C(0_-)= 0 B.

3.2 Дифференциальное уравнение. U_R3+ U_C =E, гдеU_R=i_R*R; U_C=U_R1 +U_R2;
ic= Cdu_C/dt, тогда уравнение прмет вид

 

U_R3+ U_R1 +U_R2 =E => (i_c+i_R)*R₃+ U_C =E =>

=> (i_c+U_C/(R₁+R₂)*R₃+ U_C =E => (Cdu_C/dt +U_C/(R₁+R₂)*R₃+ U_C =E

3.3 Частное решение u_CПР определяется, когда переходные процессы завершатся,
при t→∞

u_CПР= =160 В.

3.4 Общее решение u_{CСВ СВ} ищется из дифференциального уравнения, равного нулю

(Cdu_C/dt +U_C/(R₁+R₂)*R₃+ U_C =0, ищется в виде

u_CСВ=Ае^pt,
где: А – постоянная интегрирования, р– корень характеристического уравнения, t – время.

3.5 Характеристическое уравнение записывается из дифференциального путем замены du_CСВ/dt=>p и u_CСВ=>1, Получим:
 (Cp +1/(R₁+R₂)*R₃+ 1 = 0 =>  =0

Корень этого уравнения
р= = -62500с^-1

3.6 Постоянная интегрирования определяется из начальных условий при t=0.

Тогда

u_CСВ(0₊)=Ае^p0.

По второму закону коммутации

u_C(0-)=u_C(0₊)=u_CПР(0₊)-u_CСВ(0₊)

и тогда

А=u_CСВ(0₊)=u_C(0_-)-u_CПР(0₊)= 0-160 = -160 В.

3.7 Общее решение ищется в виде u_CСВ(0₊)=Ае^p0.

u_CСВ= Ае^p0 = -160 е^-62500t В.

3.8 Решение u_C ЛН ОДУ состоящее из частного u_CПР  и общего u_CСВ решений, имеем в виде

u_C=u_CПР+u_CСВ= 160 -160 е^-62500t В.

3.9 Ток в конденсаторе i_C получим путем дифференцирования уравнения для напряжения на конденсаторе

i_C=С*du_C/dt= A*C*p*е^pt= -160*0.00002*(-62500)* е^-62500t = 200е^-62500tA.

3.10 Диаграммы напряжения и тока в диапазоне t=0…4τ, где постоянная времени τ=1/|p|=0.000016 c

 

t

u

 

t

Рисунок 3 – Переходные процессы в конденсаторе

 

4 Переходные процессы в RС-цепи переменного тока

4.1 Исходные данные. Схемы цепей переменного и постоянного токов отличаются обозначением ЭДС,

Частота f=1/T=1/τ=|p|=62500 Гц, ω=2πf= 392699 рад/с.

Начальная фаза ЭДС по ψ_E=10⁰*N_ВАР=230⁰.

Уравнение ЭДС по e=√2Esin(2πft+ψ_E)=283sin(392699t + 230⁰) В

4.2 Независимые начальные условия (ННУ) – напряжение на конденсаторе определя-ется в результате расчета ЭЦ переменного тока до коммутации. Параметры элементов для расчета символическим методом:

 

Комплексная амплитуда E_M=-182-j217= 283e^j230 B.

Сопротивление конденсатора Х _С=1/jωС=1/(j*392699*0.00002)= -j0.13 Ом.

Сопротивление цепи Z_0-= ∞Ом.

Ток через источник ЭДС I_ME0-=E_M/Z_0-=0A.

Напряжение на конденсаторе Uc =0 В.

4.2.1 Мгновенное значение напряжения на конденсаторе
u_C0=U_MC0-sin(ωt+ψ_U0-)= 0 B.

u_C(0_-)= 0 B.

4.3 Дифференциальное уравнение. Для ЭЦ после коммутации такое же как и в R-С цепи постоянно тока с источником ЭДС синусоидального тока.

Решение u_C ищется в виде

u_C=u_CПР+u_CСВ.

 

4.4 Частное решение u_CПР определяется, когда переходные процессы завершатся.

Комплексное сопротивление цепи
Z_RC= = 1-j0.13 Ом.

Комплексная амплитуда тока через источник ЭДС

I_MEПР=E_M/(Z_RC)= (-182-j217)/(1-j0.13) = -151-j235 =279e^-j123 A.

Комплексная амплитуда принужденного напряжения на конденсаторе
U_MCПР= I_MEПР *  =-30+j18=36e^j149 В.