Анализ переходных процессов в RLC-цепи постоянного тока операторным методом

ДО ПОСЛЕ

Рис.1 – Цепь до и после коммутации

1.1 Параметры ЭЦ постоянного тока

 

Все расчеты проводим при помощи программы Maple_13

 

1.2 Независимые начальные условия (ННУ) – токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах

i_L(0_-) =0A, 

u_C(0_-)= 0 B.                                                  

 

1.3 Операторная схема замещения

 

Операторная схема замещения составляется для цепи после коммутации. Операторные сопротивления индуктивности и конденсатора равны Lp и 1/Cp. Начальные условия – ток в индуктивности i_L(0-) и напряжение на конденсаторе u_C(0-) до коммутации – учитываются ввиде источников Li_L(0) и u_C(0)/р. При этом направление источника, учитывающего ток виндуктивности, совпадает с направлением тока, а направление источника, отражающего напряжение на конденсаторе, – противоположно току в конденсаторе. Источник ЭДС Е имеет изображение E=  

Рисунок - Операторная схема замещения

 

1.4 Операторные токи и напряжения

Операторные токи и напряжения в области комплексного переменного р рассчитываются по тем же законам и теми же методами, что и в электрических цепях в области действительного переменного t.

 

Согласно методу контурных токов из рисунка следует, что

I₁₁(p)Z₁₁(p)+I₂₂(p)Z₁₂(p) =E₁₁(p);

I₁₁(p)Z₂₁(p)+I₂₂(p)Z₂₂(p) =E₂₂(p).     

 

где:
E₁₁(p)= E/p- U_C(0)/p + i_L(0)L =200/p;
E₂₂(p)= U_C(0)/p = 0.

 

Z₁₁(p)= R₃ +1/(Cp)+ Lp = 1+0.002p+50000/p;
Z₂₂(p)= R₁+ R₂ +1/(Cp) =4+50000/p

 

Z₁₂(p)= Z₂₁(p) =- 1/(Cp) = -50000/p;

 

1.5 По методу определителей решением системы уравнений будут контурные операторные токи, которые нужно преобразовать к виду дробно-рациональных функций

Δ=Z₁₁P*Z₂₂ P -Z₁₂ P *Z₁₂ P;

Δ₁= E₁₁P*Z₂₂ P -E₂₂ P *Z₁₂ P

Δ₂= E₂₂P*Z₁₁ P -E₁₁ P *Z₁₂ P

I₁₁(p)= Δ₁/ Δ= ;
I₂₂(p)= Δ₂/ Δ= ;

1.6 Операторное напряжение на конденсаторе, равное по закону Ома произведению операторных тока I_C(p) и сопротивления 1/Ср, также должно быть представлено дробнорациональной функцией

 

.

 

1.7 Расчет данных величин в ручную представляет большую сложность, поэтому воспользуемся программным пакетом Maple_13

Получаем численные результаты:

I₁₁(p)= ;

I₂₂(p)= ;

 

 

1.8  Ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе найдем из контурных токов:

I_L(p)= I₁₁(p)= ;

 

=

 

1.9 Полюсы операторных токов и напряжений определяются при равенстве нулю знаменателя дробно-линейной функции

 

p²+13000*p+31250000=0.                                           

 

Решение дает:

 

Р₀=0; р₁=-3183 с^-1.  ; р₂=-9816 с^-1.

 

Первый корень обуславливает наличие принужденной составляющей в контуре, а вторая пара полюсов – свободные составляющие – и равна корням характеристического уравнения.

 

1.10 Нахождение оригинала по изображению

Нахождение оригинала по изображению осуществляется чаще всего по формулам разложения, полученным из теоремы разложения. Мы же воспользуемся обратным преобразование Лапласа в программе Maple_13. Программа сразу выдает зависимости:

                         

Переходный ток в индуктивности

i_L(p)=> I_L(p)= 40 -44.1е^{-3183 t} +4.1 е^{-9816 t} A.

 

 

Переходное напряжение на конденсаторе

u_C(p)=> U_C(p)= 160 -236.8 e^{-3183 t} +76.8 e^{-9816 t} В .

 

1.11 Диаграммы напряжения и тока по завершении переходного процесса на 98.17 % в диапазоне t=0…4τ, где постоянная времени τ=1/P1=1/3183 =0.0003c.

	i

 

t

Рис. 1 – Ток в катушке индуктивности

t

u

Рис. 2 – напряжение на конденсаторе