Произведением двух согласованных матриц

2019-11-21

275

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 12

и = , В=

называется матрица С порядка m ´ k:

= ∙ , элементы которой вычисляются по формуле:

( 1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, k),

то есть элемент i –ой строки и j–го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы

j –го столбца матрицы В.

Пример 4.Найти произведение матриц А и В.

= , = ,

∙ = = = .

Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.

Свойства произведения матриц:

1) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, В и А согласованы;

2) АЕ = ЕА = А;

3) A·0 = 0·A = 0;

4) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С;

5) дистрибутивность относительно сложения

(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС;

6) (А∙В) = В ∙А ;

7) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λ, R..

Пример 5. Выполнить действия над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.

= , = .

Решение.

1) Суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2´3, а матрица В – порядок 3´1;

2) Так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц А·В существует:

· = · = = ,

произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны.

Определение. Пусть А – квадратная матрица порядка n:

А= .

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое = detA= Δ= .

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

= = – ,

т.е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример 6.

= , тогда = = 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.

Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число

Δ = = detA= =

= + + – – – , (2.2)

т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2.2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса).

Схема вычисления определителя 3-го порядка по правилу треугольника:

Пример. Вычислить определители третьего порядка .

Решение.

Пример 7. Вычислить определитель

= =

= .

Основные свойства определителя

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

= .

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

= – , = – .

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

= или = .

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

=0, = 0.

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

= + , = + .

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

= + = ,