Одноканальные СМО с отказами.

Это простейший тип СМО

Размеченный граф состояний системы.

S₀ – состояние, когда канал свободен, отсутствие заявок.

S1

S0

                              

                                                                        

 

S₁ - канал занят

Введем два предположения:

1. Входной поток заявок является простейшим и его плотность >Ø (стационарность, ординарность, отсутствие последействий).

2. Продолжительность между поступлениями заявок распространена по экспоненцкому закону.

 

Напишем уравнение Колмогорова-Чепмена для этой системы:

                                

  

 

Эти формулы позволяют найти вероятность пребывания системы в  возможным состоянием в установившемся режиме работы, т.е. независимо от времени.

Одноканальные СМО с ограниченной очередью.

Число каналов n=1, емкость накопителя (max очередь) m=

S0

S2

Sm+1

Sk

S1

                                                                    

                                                                ……                ……

                                                                  

 

S₀ – канал свободный

S₁ – канал занят, очереди нет

S₂ - канал занят, в очереди 1 заявка

S_k – канал занят, в очереди К-1 заявка

S_m+1 – канал занят, в очереди m заявок (накопитель полностью заполнен)

Приравнивание уравнения Колмогорова-Чемпена к Ø и 3 состояния ( S ₂ )

1). 1 состояние (S₀) получаем линейное уравнение:

                           

2 состояние (S₁)

                                                                 

2). Преобразуем из уравнения, характерного Ø-ое состояние выражаем Р₁:

*

Геометрическая прогрессия

*

Последние системы уравнения (*) называются формулами Эрланга.

 - второе состояние

 - третье состояние

1, 2, ….., m – количество заявок.

Величина относительного времени ожидания.

Пример: Пристань имеет 1 причал, входящий поток судов простейший, , акватория ограничена . На пристань можно поставить следующее количество транспортеров 1, 2, 3. К=1 – то . К-2 – то . К-3 – то

Рассчитать параметры системы для трех вариантов.

S₀ – состояние когда причал свободен, заявок нет

S₁ – канал занят, очереди нет

S₂ – канал занят, очередь 1 судно

S₃ – канал занят, очередь 2 судна

	К=1	К=2	К=3
Р0	0,01	0,07	0,16
Р1	0,04	0,14	0,21
Р2	0,16	0,28	0,28
Р3	0,79	0,51	0,38
q	0,21=Р0+Р1+Р2	0,49	0,62
	2	1,3	1
	0,5 сут	0,325 сут	0,25 сут

Среднее число занятых каналов обслуживания = среднему числу заявок, находящимся под обслуживанием.

Одноканальные СМО с неограниченной очередью.

 

Sk

S2

S1

S0

                                                 

                                                              …….

                                                   

S₀ – канал свободен

S₁ – канал занят очереди нет

S₂ – канал занят, в очереди 1 заявка

S_k – канал занят, в очереди К-1 заявка

Для таких систем с теоретически возможным бесконечным числом состояний не всегда - ет установившийся режим работы.

Для данной системы в условиях, когда имеется установившийся режим:

Формулы Эрланга:

…………………….

Вероятность отказа: Р_отк=0

Вероятность обслуживания: Р_обс=1=0

Вероятность абсолютной пропускной способности:

Средняя длина очереди:

Рассмотрим достаточно большой промежуток времени Т, за это время в среднем будет обслужено  заявок, при этом суммарное время простая, заявок в очереди