Методы определения центров тяжести

 Метод симметрии. При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

 Метод разбиения на части. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны. В таких случаях центры тяжести сложных фигур вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито.

Пример 1. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, показанной на рис.10.3.Все размеры показаны на рисунке в сантиметрах.

Решение. Проводим оси координат и разбиваем пластину на три прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром). Вычислим координаты центров тяжести каждого из прямоугольников и их площади: A1=4cm2, A2=20cm2, A3=12cm2.
	Рис.10.3

Площадь всей фигуры А=А₁+ А₂+ А₃ = 4+20+12=36 см² .

Тогда 

Найденное положение центра тяжести совпадает с точкой С и показано на рис.10.3.

Метод отрицательных масс. Проиллюстрируем этот метод на плоской фигуре.

Рисю10.4

Пример 2. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R с вырезом радиуса r (рис.10.4). Расстояние С1С2 = а. Решение. Центр тяжести пластины лежит на линии С1С2 - на оси симметрии. Проводим оси координат, как показано на рис.10.4.

Для нахождения координаты x_C дополняем площадь пластины А₁ до полного круга, затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного круга А₂ . Тогда А₁= p R², x₁=0; А₂= - p r², x₂=a; А=А₁+А₂ = p R²- p r².

Положение центра тяжести вычислим по формуле (10.2)

Найденный центр тяжести лежит левее точки С₁.

Центры тяжести простейших тел

Дуга окружности. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат ОX (рис.10.5). Координату центра тяжести дуги АВ вычисляем по формуле

.

Дуга окружности А B, равная L, определяется радиусом R и стягиваемым ее центральным углом . В рассматриваемом случае

.

Подставляя эти значения в формулу для хС, получим Таким образом, .
	Рис.10.5

Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга радиуса R (рис.10.6) находится на оси симметрии, которую примем за ось ОY. Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле

.

В рассматриваемом случае . Перейдем в полярную систему координат. Имеем:

Рис.10.6

Подставляя эти значения в формулу для вычисления центра тяжести полукруга , получим:

Таким образом, .