Проверка гипотез по цензурированным выборкам

Применение параметрического оценивания требует обязательной проверки гипотезы о соответствии выбранного теоретического закона и ЭД. Нулевая гипотеза Н₀ такой проверки соответствует утверждению, что ЭД являются выборкой из генеральной совокупности, подчиняющейся закону распределения F(t) или, другими словами, эмпирическая функция распределения F_N (t) эквивалентна F(t).

Исследования цензурированных ЭД показали, что часть традиционных критериев практически не применима (критерий хи-квадрат), другие (критерии Колмогорова, Мизеса) теряют свои полезные свойства, становятся зависимыми от типа цензурирования, а их поведение остается еще слабо изученным в асимптотической области. Основной недостаток таких критериев, как критерий Мизеса, состоит в том, что наибольший вклад в значение статистики критерия вносят те участки эмпирической функции распределения, которые характеризуются повышенной неопределенностью из-за цензурирования.

Более полезным в условиях цензурирования является критерий Мозеса и его модификации. В теории вероятностей доказано, что если случайная величина t имеет непрерывную функцию распределения F(t), то величина Y = F(t) подчиняется равномерному распределению в интервале от 0 до 1. Статистика критерия Мозеса для однократно цензурированных выборок определяется как , где F(t_i) – теоретическое значение функции распределения в точке t_i , r – объем выборки, t₁, t₂, …, t_r – совокупность зарегистрированных полных наработок. Случайные величины F(t_i) распределены асимптотически равномерно на интервале от 0 до 1. При достаточно большом объеме выборки значение статистики критерия Мозеса является асимптотически нормальным со средним значением 0,5 и дисперсией 1/(12r). Областью принятия нулевой гипотезы является соблюдение условия

0,5 – (12r)^{– 0,5} u _{(1– a /2)} £ w £0,5 + (12r) ^{– 0,5} u _{(1– a /2)}, (8.10)

где u _{(1– a /2)} – квантиль уровня (1–a /2) стандартного нормального распределения, величина a определяет уровень значимости критерия. Это асимптотическое распределение рекомендуется применять, если

r ³ u _{(1– a /2)} /a . (8.11)

Например, если a = 0,1, то r должно превышать 16.

В противном случае следует воспользоваться более точным распределением статистики критерия – областью принятия гипотезы является интервал 0,5 – j (r,a ) £ w £0,5 + j (r,a ). Значения функции j (r,a ) определяются по специальным таблицам. Теоретически критерий Мозеса обладает высокой эффективностью, но суммирование ошибок при вычислении статистики критерия, особенно при многократном цензурировании исходных данных, приводит к снижению эффективности критерия, особенно при большом объеме выборок.

В целях преодоления этого недостатка критерий Мозеса модифицируют, исходя из следующих положений. При многократном цензурировании для каждого i-го интервала наблюдения считается, что составляющие его наработки t_j (t _i–1 £ t_{j £} t _i ) представляют собой случайную выборку объема r_i. Величина F(t_i) распределена равномерно на интервале D F = F(t _i–1) – F(t _i). Тогда величина

w _i = [F(t_j) – F(t _i–1)]/[ F(t _i–1) – F(t _i)] (8.12)

распределена равномерно на интервале от 0 до 1. Статистика имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием 0,5 и дисперсией 1/(12r) при таком же условии, что и для однократно цензурированной выборки.

Проверка однородности цензурированных выборок производится аналогично проверке однородности нецензурированных выборок. Гипотеза проверяется с помощью непараметрических критериев (независимых от функции распределения переменной), в качестве которых целесообразно взять критерии, предусматривающие переход от абсолютных значений наработок к их рангам в объединенном вариационном ряду. Возникающую при этом неопределенность рангов наблюдений цензурированных выборок преодолевают различным образом. Одним из подходов является суммирование весов только полных наработок и введение для каждого компонента суммы специальной поправки, учитывающей количество предшествующих данному событию цензурированных элементов выборки (критерий Кокса). Вес слагаемого зависит от количества элементов, за которыми продолжается наблюдение в данный момент.

Пример 8.3. Оценить параметры и проверить возможность описания ЭД, представленных в примере 8.1, законом распределения Вейбулла. Уровень значимости для проверки гипотезы a = 0,1.

Решение. Вычислим параметры распределения исходя из предположения, что ЭД подчиняются распределению Вейбулла. Заданная выборка соответствует плану наблюдения [NUz]. Численное решение первого уравнения (8.8) относительно b произведем с помощью функции root пакета MathCAD. В качестве начального приближения b выберем 4. В результате получим b = 3,352. Зная величину b , можно по второму равенству (8.8) вычислить d = 2932. Расчеты по проверке гипотезы Н₀ о принадлежности выборки закону распределения Вейбулла оформим в виде таблицы, табл. 8.2.

Таблица 8.2

В таблице F(t) соответствует значениям функции распределения Вейбулла. Величины w_i рассчитаны по формуле (8.12). Значение статистики критерия согласия w = 0,451.

Квантиль нормального распределения уровня (1– 0,1/2=0,95) составляет 1,64. Область принятия гипотезы Н₀ лежит в пределах от 0,307 до 0,693. Следовательно, на уровне значимости 0,1 выборка может принадлежать генеральной совокупности, распределенной по закону Вейбулла.

Применение рассмотренного критерия в данных условиях не вполне обосновано, так как для статистики w не выполнено условие (8.11). Проведем дополнительную проверку гипотезы Н₀ по наработкам до отказа (шесть точек ряда) с помощью критерия Колмогорова. Эта проверка дает статистику критерия, равную 0,97, что меньше критического значения, равного 1,22. Следовательно, и по критерию Колмогорова нет оснований отвергать гипотезу Н₀ .