II.2. 1. Основы теории множеств.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К НАДЁЖНОСТИ.

Представленный материал рассчитан на студентов, знакомящихся с вероятностными методами описания и анализа случайных явлений, которые составляют основу математических моделей общетехнического курса «Надежность технических систем».

II.1. Применение теории вероятностей в технике

Теория вероятностей необходима при решении многих технических задач.

Особенность теории вероятностей состоит в том, что она рассматривает явления, где в той или иной форме присутствует неопределенность. Поэтому существует представление, что вероятностные методы решения практических задач считаются менее предпочтительными, чем «точный» анализ, т. к. обращаться к этим методам вынуждает якобы отсутствие достаточно полной информации. Кроме того, многие считают теорию вероятностей загадочной областью математической науки.

Представленные мнения неверны. Во-первых, вряд ли есть еще хотя бы одна область математики, которая с такой полнотой базируется на столь ограниченном наборе исходных представлений (всего три аксиомы, которые почти очевидны). Во-вторых, догматическое стремление представить физические законы детерминистическими и справедливыми при любых обстоятельствах. Безусловно, нельзя отрицать закон Ома, однако на микро уровне происходящих процессов он не выполняется – факт, который очевиден любому, кто когда-нибудь подключал резистор большого номинала к входу усилителя с высоким коэффициентом усиления и слышал шумы, появляющиеся в результате этого на выходе.

Итак, в лучшем случае, непреложные законы отражают «поведение» природы, так сказать, «в среднем». Во многих ситуациях такое «среднее поведение» достаточно близко к тому, что наблюдается на практике, и имеющимися отклонениями можно пренебречь. В других, не менее важных ситуациях, случайные отклонения могут оказаться значительными, что требует использования аналитических методов, построенных на вероятностных концепциях.

Поэтому становится ясным, что так называемое «точное решение» вовсе не всегда является точным и, более того, представляет собой идеализированный частный случай, который на практике почти не встречается. С другой стороны, вероятностный подход – далеко не худшая замена точным методам решения и наиболее полно отражает физическую реальность. Кроме того, он включает в себя результат детерминистического подхода в качестве частного случая.

Теперь имеет смысл описать в общем типы ситуаций, в которых применение вероятностных методов расчета при решении практических задач скорее является правилом, чем исключением.

Случайные параметры систем. В ряде случаев те или иные параметры системы могут быть неизвестны или изменяться случайным образом. Типичными примерами таких систем являются электроэнергетические сети, нагрузки которых непредсказуемы и варьируются в широких пределах; телефонные системы, число пользователей которых случайным образом меняется во времени; электронные системы, параметры которых носят случайный характер, из-за того, что характеристики полупроводниковых приборов устанавливаются диапазоном возможных значений.

Надежность систем. В состав любой технической системы входит большое количество различных элементов, отказ одного или нескольких из них может вызвать выход из строя всей системы. По мере усложнения и повышения стоимости систем на стадии конструирования возникает задача синтеза логических структурных схем надежности и оптимизации безотказности.

Контроль качества и диагностика. Повышение потребительских свойств и конкурентоспособности продукции может быть достигнуто выходным контролем и диагностикой в процессе эксплуатации. Для этого требуются правила проверки отдельных случайно выбранных элементов, вероятностные методы распознавания дефектов и прогнозирования работоспособности.

Теория информации. Количественная мера информационного содержания различных сообщений: численные и графические данные, технические измерения носят вероятностный характер. Кроме того, пропускная способность каналов связи зависит от случайных шумовых воздействий.

Статистическая динамика. Во многих ситуациях сложные электронные и электромеханические системы помимо полезных и, во многом, случайных входных сигналов (управления, наведения, измерения и т. п.) испытывают случайные нежелательные возмущения. Возникает задача оценки реакции системы как на случайные входные параметры, так и на паразитные возмущения.

Из краткого перечисления ясно, что при решении большого числа технических задач приходится встречаться с неопределенностью, а это делает теорию вероятностей необходимым инструментом современного инженера.

II.2. Основные понятия

II.2. 1. Основы теории множеств.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие случайного события (в дальнейшем просто событие).

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств.

Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, конечное множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде

М = {1, 2, …,100} = {i - целое; 1 i 100}.

Предположим, что производится некоторый опыт (эксперимент, испытание), результат которого заранее неизвестен, случаен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (один отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества и является случайным событием, т. е. любое событие А – это подмножество множества : А . Например, пространство элементарных событий при бросании игральной кости составляет шесть возможных исходов = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. С учетом пустого множества , которое вообще не содержит элементов, в пространстве может быть выделено в общей сложности 2⁶ = 64 подмножества:

; {1}; … ; {6}; {1, 2}; … ; {5, 6}; {1, 2, 3}; … ; .

В общем случае, если множество содержит n элементов, то в нем можно выделить 2ⁿ подмножеств (событий).

Рассматривая событие (ведь каждое множество есть свое собственное подмножество), можно отметить, что оно является достоверным событием, т. е. осуществляется при любом опыте. Пустое множество как событие является невозможным, т. е. при любом опыте заведомо не может произойти. Для предыдущего примера: достоверное событие = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {выпадение одного из шести очков}; невозможное событие = {7} = {выпадение 7 очков при одном бросании игральной кости}.

Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и составляют полную группу событий.

Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчающее понимание смысла этих преобразований. Оно носит название диаграммы Эйлера-Венна, и на ней пространство изображается в виде прямоугольника, а различные множества – в виде плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями. Пример диаграммы, иллюстрирующей включение множеств C B А, приведен на рис. 1.

Рис. 1

Видно, что B является подмножеством А, а C – подмножеством B (и одновременно подмножеством А).