II.2. 4. Основные правила теории вероятностей

Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами): сложения и умножения вероятностей.

II.2.4.1. Теорема сложения вероятностей.

Если А 1, А 2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А 1, А 2, …, Аn:

(12)

Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (8).

В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

P(A) + P( ) = 1

(13)

Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Условная вероятность события А 1 при наступлении события А 2 – вероятность события А 1, вычисленная в предположении, что событие А 2 произошло:

P(А 1 А 2) = P(А 1 А 2)/P(А 2).

(14)

II.2.4.2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А 1 и А 2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

(15)

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

(16)

В случае, если события А 1 и А 2 независимы, то соответствующие условные вероятности

поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид

(17)

а для конечного числа n независимых событий

(18)

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (13)

P(A) + P( ) = p + q = 1

Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению

(19)

где - биномиальный коэффициент.

Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10^-3, составляет по (19)

где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.

Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C ⁰ ₃₂ = 1

Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие.

Расчетные выражения для такого типа ситуаций имеют вид:

где P_n (i) определяется по (19).

При больших m вычисление биномиальных коэффициентов C_n^m и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq >>1, а |m-np|<(npq)^0,5, в таком случае выражение (19) записывается:

(20)