Задачи со следствиями из 1 и 2 зам. пределов.
Введение в математический анализ. Множества и функции. Задача 143. Доказать нечётность функции . Решение. Заменим на , при этом наоборот, заменится на . = = . Таким образом, , то есть функция нечётная. Задача 144. Даны 2 функции: , . Найти все их возможные композиции. Решение. так как то повторное вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса. Графики для сравнения:
, здесь скорость возрастания с ростом всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График: ,график:
строение этой функции хорошо известно. На чертеже зелёным показан график , синим . Задача 145. Найти композицию если . Решение. Двойная композиция это , а тройная композиция . Можно сначала привести подобные внутри самой внутренней дроби, для чего 1 представим как . = = = И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом. = = = = . Ответ. . Задача 146. Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону: . Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени. Решение. Движение точки можно задать так: , . Подставим эти выражения в , чтобы получить композицию функций. = . Ответ. .
Задача 147. Найти область определения функции: . Решение. Выражение под каждым из корней должно быть , а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе. Получается система из 2 неравенств: и . , . Итого, пересечение этих множеств: . Ответ. .
Задача 148. Найти область определения функции: . Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны это область вне круга радиуса 1. это область внутри круга радиуса 3. В их пересечении лежит кольцо . Чертёж: Ответ. Кольцо . Задача 149. Найти область определения функции 3 переменных: . Решение. Здесь , т.е. . Это неравенство задаёт шар радиуса 1. Штриховкой в плоскости, как в прошлой задаче, для функции трёх переменных изобразить уже невозможно. Ответ. Шар радиуса 1: .
«Предел последовательности» Задача 150. Найти предел . Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и в числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель. = = Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0, поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда = . Ответ. . Задача 151. Найти предел . Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и сократим самую старшую степень элемента , в прошлой задаче это была 2-я степень, а здесь 3-я. = = = . Ответ. .
Задача 152. Найти предел . Решение. Есть 2 способа. Можно сократить на : = = . А можно сократить на : = = . Замечание. Если наоборот, в знаменателе была бы степень больше, чем в числителе, то ответ не 0 а . Ответ. 0. Задача 153. Найти предел . Решение. Здесь неопределённость типа . Будет ошибочно думать, что . Так, например, если от нас удаляются 2 объекта со скоростями и , то не только расстояние от нас до каждого объекта, но и расстояние между ними увеличивается к . Чтобы свести к дроби, и сокращать как в прошлых примерах, надо сначала домножить на «сопряжённое» выражение, то есть такое где вместо разности сумма, это позволит использовать формулу сокращённого умножения . = = = . Теперь можно сократить на первую степень : = = = = = = 3. Ответ. 3. Задача 154. Найти предел . Решение. Здеь домножение и не требуется, а можно сразу сократить на . = = = . Ответ. 1.
Задача 155. Найти предел . Решение. Можем сразу сократить на . В числителе при этом можно представить в виде . = = = = 2. Ответ. 2. Предел функции. Задача 156. Найти предел . Решение. Так как переменная неграниченно возрастает, то тоже влияют её старшие степени и коэффициенты перед ними. Сократим дробь: = = = = . Ответ. . Задача 157. Найти предел . Решение. Аналогично тому, как в прошлом примере, сократим на старшую степень, здесь это . = = = = . Ответ. . Задача 158. Найти предел . Решение. В этом примере надо домножить и поделить на «сопряжённое» то есть на сумму, чтобы использовать формулу . = = теперь сократим на : В знаменателе можно представить в виде , чтобы упростить выражение в знаменателе: = = = = . Ответ. . Задача 159 (А,Б). Найти пределы , . Решение. А). = = здесь числитель равен 1, знаменатель неограниченно возрастает, поэтому получается выражение типа , предел равен 0. Б). Заметим, что , то есть указанная сумма, фактически, есть разность. Домножаем на сопряжённое выражение, которое формально будет разностью, а на самом деле - суммой: = = = . Здесь в знаменателе разность, но 2-я величина отрицательна, то есть фактически - сумма бесконечно-больших. Тогда получается, что дробь - величина, обратная к бесконечно-большой, т.е. бесконечно-малая. . Ответ. 0. (в обоих пунктах).
Замечание. Как мы видим, методы решения примеров для последовательности ( ) и для функции при во многом очень похожи. В одном случае дискретно увеличивается к бесконечности, а в другом непрерывно, но всё равно и там, и здесь неограниченное возрастание.
Задача 160(А,Б).Найти пределы , . Решение. Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться ответ в зависимости от или . И в том, и в другом случае мы стараемся сократить дробь на множитель . Если положительно, то можно представить в виде . = = = = . А вот если отрицательно, то надо учесть, что это , оно положительно, то есть при верно . Поэтому = = = . Ответы. 4 и .
Примеры, в которых . Задача 161. Найти предел . Решение. В этом случае стремится к числу, а не бесконечности. Получается неопределённость совсем другого типа: если в прошлых примерах было или , то здесь . Если просто подставить 1 в это выражение, получилось бы . Поэтому и нельзя просто подставить и вычислить значение, а нужно раскрывать неопределённость. Выделим множитель и в числителе, и в знаменателе, чтобы его сократить. = = = 2. Когда сократили, тогда уже можно просто подставить . Ответ. 2. Задача 162. Найти предел . Решение. Найдём корни многочленов в числителе и знаменателе, и разложим на множители. = = = . Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе. Ответ. . Задача 163. Найти предел . Решение. Разложим на множители, как и в прошлой задаче. = = = . Нашли корни числителя и знаменателя, разложили на множители. Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе. Ответ. .
(!) Обратите внимание, что в случае, когда в числителе таких множителей (стремящихся к 0) больше, чем в знаменателе, то происходит неполное сокращение, и в числителе остаётся одна из скобок, стремящихся к 0, то есть предел получается 0. Это будет видно на следующем примере. Задача 164. Найти предел . Решение. = = = . В числителе остался один не сокращённый множитель , остальные стремятся к константам, но уже не важно к каким, всё равно получится 0 из-за нуля в числителе. Ответ. 0. Замечание. Наоборот, если бы такой множитель остался в знаменателе, то предел был бы равен . = . Задача 165. Найти предел . Решение. Во-первых, если просто подставить , видно неопределённость . Это означает, что является корнем, т.е. по крайней мере, хотя бы один множитель вида и в числителе, и в знаменателе найдётся. Это облегчает поиск корней, можно обойтись даже без дискриминанта, а просто найти второй дополняющий. Когда мы сократим все , можно будет просто подставить в оставшееся выражение. = = = = = . Ответ. . Задача 166. Найти предел . Решение. Способ 1. Тот факт, что при подстановке и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта. = = = = = . Способ 2. (Лопиталя). = = = = = . Ответ. . Задача 167. Найти предел . Решение. Способ 1. = = = = . Способ 2. = = = = . Ответ. .
Задача 168. Найти предел . Решение. Воспользуемся формулой разности кубов: . = = = 27. Впрочем, можно сделать и методом Лопиталя: = = = 27. Ответ. 27.
Задача 169. Найти предел . Решение. = = = = = 2. Замечание. Этот пример, как и многие из рассматриваемых, можно тоже для проверки решить вторым способом (Лопиталя). Ответ. 2.
Задача 170. Найти предел . Решение. По методу Лопиталя пришлось бы дифференцировать 2 раза, из-за наличия корня кратности 2. = . Здесь опять получается неопределённость , поэтому дальше: = = = = . Ответ. . Для сведения, 2-й способ, с разложением на множители, но он здесь длиннее. Мы точно знаем, что присутствует множитель ведь неопределённость . Это облегчает поиск корней многочленов 3-й степени: мы можем сначала поделить на и останутся многочлены 2-й степени, корни которых уже можно найти через дискриминант.
Итак, = Однако находя корни через дискриминант, обнаруживаем, что ещё раз выделяется множитель . В числителе , корни , т.е. и 1. В знаменателе , корни , т.е. и 9. Получается . Значит, просто эту скобку надо сократить 2 раза, но всё равно она ведь полностью сокращается. Получим = = = .
Задача 171А,Б. Найти и . Решение. Сразу вынесем за скобку общий множитель и в числителе, и в знаменателе, там все остальные коэффициенты ему кратны. Затем разложим на множители. = = = = = .
А при другой тип неопределённости, и применяется совершенно другой метод решения, несмотря на то, что функция та же самая. = = = . Ответы. и . Замечание. Оба этих предела можно было найти по правилу Лопиталя. = = = . = = = .
Задача 172. Найти предел . Решение. Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности. При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов:
В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку . = = = = . Ответ. . Задача 173. Найти предел . Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители. НОК(2,3) = 6. Если обозначим , то: , . При этом, если , то и тоже стремится к 1. * Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно новая переменная стремится к другому числу. Например, если и , то . Итак, = = (для удобства сделали, чтобы многочлены начинались со старшей степени). Далее, = = = . При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной. Ответ. .
«1-й замечательный предел». Задача 174. Найти предел . Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе. = = = = . Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности если переобозначить . Ответ. . Задача 175. Найти предел . Решение. = = = 5. Ответ. 5.
Задача 176. Найти предел . Решение. = = = = = 24. Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть . Ответ. 24. Задача 177. Найти предел . Решение. Эту задачу можно решить как с применением тригонометрической формулы, так и методом Лопиталя. Способ 1. Вспомним формулу . Получается = = = 2. Способ 2. = = = 2. Ответ. 2.
Задача 178. Найти предел . Решение. Чтобы устранить разность, как всегда, домножим и поделим на сопряжённое. = = = = = . это мы применили формулу понижения степени, а ту часть, которая стремится к 0, вычислили сразу, этот коэффициент теперь так и будет оставаться до ответа. Теперь заменим каждую из бесконечно-малых на эквивалентную. =
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (199)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |