Математическая модель теплообменного аппарата

 

При записи расчетных соотношений предполагается, что процессы теплообмена в аппарате не сопровождаются фазовыми переходами. Принимается, что оптимизационные расчеты проводятся на этапе начального проектирования, в связи с чем выбираются наиболее простые формулы, пренебрегаются поправки на изменения физических параметров, на наличие начальных участков и т.п.

Основными соотношениями для расчета теплообменников являются: уравнение теплового баланса, Вт

Q = G ₁ С_р1( t ₁ ¢ - t ₁ ¢¢ ) = G ₂ С_р2( t ₂ ¢¢ - t ₂ ¢ ),               (2.4)

где G ₁, G ₂ – расходы, соответственно, теплоотдающего (1) и тепловоспринимающего (2) теплоносителей, кг/с;

С_р1, С_р2 – средние массовые изобарные теплоемкости теплоносителей, Дж/(кг×К);

t ₁ ¢, t ₂ ¢ – температуры теплоносителей на входе в ТА, °С;

t ₁ ¢¢, t ₂ ¢¢ – температуры теплоносителей на выходе из ТА, °С;

уравнение теплопередачи, Вт

    Q = k D t _ср F,                                        (2.5)

где k – коэффициент теплопередачи, Вт/(м²×К);

D t _ср – среднелогарифмический температурный напор, К;

F – площадь поверхности теплообмена, м²;

уравнение затрат мощности на прокачивание теплоносителей, Вт

,        (2.6)

где x − коэффициент гидравлического сопротивления;

r ₁, r ₂ , − плотности теплоносителей, кг/м;

W ₁, W₂ − скорости движения теплоносителей, м/с.

l − длина теплообменника, м ;

d ₁ − внутренний размер внутренней трубы, м ;

d _2экв − эквивалентный диаметр кольцевого сечения, м.

Значение эквивалентного диаметра определяется по формуле

d _2экв = d _{кольц нар} – d _{кольц.вн}, где d _{кольц нар} – наружный диаметр внутренней трубы, м; d _{кольц.вн} – внутренний, диаметр наружной трубы, м (см. рис. 2.1);

,                                  (2.7)

где a ₁, a ₂ − коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м²×К);

d  − толщина стенки внутренней трубы, м;

l − коэффициент теплопроводности материала трубы, Вт/(м×К);

,                                  (2.8)

где D t _б, D t _м –  наибольшая и наименьшая разности между температурами теплоносителей, ºС.

Программа предусматривает противоточную схему движения теплоносителей (рис. 2.4);

F = p d _расч l                                (2.9)

.                          (2.10)

 

Рис. 2.4. Схема изменения температур теплоносителей

 

Здесь использовались приближенные формулы для расчета теплопередачи через тонкостенную цилиндрическую трубу.

Варьируемыми геометрическими характеристиками теплообменника

типа "труба в трубе" являются внутренний диаметр внутренней трубы (d ₁) и эквивалентный диаметр кольцевого канала (d _2экв).

Скорости течения теплоносителей определяются из уравнений расхода

                                  (2.11)

                   (2.12)

Коэффициенты теплоотдачи и сопротивления трения в трубе и кольцевом канале рассчитываются по следующим формулам:

при Re ³ 10000 (турбулентный режим)

;                (2.13)

при Re £ 2300 (ламинарный режим)

для внутренней трубы

Nu _л = 4; x = 64/ Re;                            (2.14)

для кольцевого канала

Nu _л = 4,34 + 0,78d _{кольц.нар} / d _{кольц.вн};         (2.15)

при 2300 < Re < 10000 (переходный режим)

,     (2.16)

где g − коэффициент перемежаемости.

Коэффициент перемежаемости рассчитывается по формуле:

g = 1 - ехр(1 - Re/2300),                     (2.17)

а значения Nu и x при ламинарном и турбулентном режимах определяются по приведенным выше формулам.

Каждый этап расчета заканчивается поиском значения целевой функции по (2.3).

Уравнение (2.3) является уравнением поверхности в системе координат d ₁, d _2экв, Z.

Работа с моделью

 

В рассматриваемой задаче для нахождения оптимального варианта конструкции теплообменника варьируются два параметра d ₁ и d _2экв (в программе соответственно d 1 и d 2). В связи с этим говорят о двумерной задаче оптимизации. Простейшим методом решения многомерных задач такого типа является метод покоординатного спуска. Его идея заключается в последовательном циклическом применении одномерного поиска для каждого варьируемого параметра. Например, возможна следующая последовательность расчета (см. рис. 2.5): поиск начинается с базовой точки с координатами d 1 = 0,08 м; d 2 = 0,03 м. Сначала осуществляется спуск вдоль координаты d 2 при фиксированном значении координаты d 1 = 0,08 м и в точке d 2 = 0,06 м было достигнуто наименьшее значение целевой функции Z = 212. После достижения минимума целевой функции в выбранном направлении производится поиск вдоль оси d 1 при фиксированном значении d 2 = 0,06 м и т. п.

 Эти операции повторяются до тех пор, пока любое перемещение из некоторой точки не будет приводить к увеличению целевой функции (возможен только «подъем вверх»). Если необходимо получить более точный результат, эту точку выбирают в качестве базовой и проводят поиск с меньшим шагом.

     Следует учитывать, что метод покоординатного спуска оказывается неработоспособным при «овражном» рельефе целевой функции. В этом

случае оптимум может быть найден при помощи более сложных алгоритмов. Один из них – симплексный – может быть легко реализован «вручную» с помощью диалоговой системы, используемой в данной лабораторной работе. Порядок работы с программой излагается в электронном приложении к работе.