Задачи для зачётного рубежа.

16. Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольший площади. Чему равна его площадь?

 

17. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли мальчик и девочка, каждый со своей, но постоянной скоростью, и встретились через час. После этого они, не останавливаясь, пошли дальше и, дойдя до пунктов В и А, повернули обратно, после чего снова встретились. Сколько времени пройдёт между первой их встречи и второй?

 

18. Записана сумма двух чисел: 68.791+245.194. Вычеркните четыре цифры из этой записи так, чтобы получилась наименьшая сумма. При этом из каждого числа надо вычеркнуть хотя бы по одной цифре. Чему равна получившаяся сумма?

 

19. Сейчас угол между часовой и минутной стрелками настенных часов прямой. Чему может быть равен угол между этими стрелками через полчаса?

20. Найдите все натуральные числа, которые в семь раз больше своей последней цифры.

 

21. На отрезке АВ, длина которого равна 6 см, отмечены две точки М и К. Известно, что ВМ = 2 ВК, АМ = 0,8АК. Найдите длину отрезка МК.

 

22. Две девочки играют в игру – Отрывают лепестки у ромашки. За один ход разрешается отрывать либо один лепесток, либо два лепестка, расположенных рядом друг с другом (между которыми нет оторванных лепестков). Побеждает та девочка, которая оторвала последний лепесток. Кто выиграет при правильной игре?

 

23. Расшифруйте ребус:

 

 

24. Даны шесть чисел: один, два, три, четыре, пять, шесть. Разрешено к любым двум числам прибавлять по единице. Можно ли через несколько ходов сделать все числа равными?

 

25. Рядом сидят мальчик и девочка.

Я – мальчик – говорит черноволосый ребёнок.

Я – девочка – говорит рыжий ребёнок.

 Если хотя бы кто-то из них врёт, кто – мальчик, а кто – девочка?

 

26. В бочке не менее 13 вёдер бензина. Можно ли отлить восемь вёдер с помощью девятиведерной и пятиведерной бочек?

 

27. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году, в котором отмечают день рождения не менее чем четыре ученика этого класса?

 

28. Из четырёх монет одна тяжелее остальных, имеющих одинаковый вес. Можно ли её узнать с помощью двух взвешиваний на весах с двумя чашечками без гирь?

29. Сколько знаков после запятой в десятичной записи числа

 

30. В треугольнике один из углов в два раза больше второго и на 20° отличается от третьего. Какие значения градусах может принимать наибольший угол такого треугольника?

 

Ответы и пояснения

1. 4 брата и 3 сестры.

2. 20 кур и 30 кроликов.

3. 4 вороны, 3 берёзы.

4. 22 февраля.

5. За 5 часов.

6. 4 задачи.

7. 54 распила.

8. 31 число: 22, 28, 33, 34, 39, 44, 45, 50, 51, 55, 56, 61, 62, 66, 67, 68, 72, 73, 77, 78, 79, 83, 84, 85, 88, 89, 90, 94, 95, 96, 99.

9. 14

10. Да, они подошли с разных берегов реки.

11. 10 кг

12. 166 копеек, 1 рубль, 66 копеек.

13. 84. Начинающихся с 1-28, с 2-21, с 3-15, с 4-10, с 5-6, с 6-3, с 7-1.

14. 120. Решается аналогично.

15.

16.  1050 см². Использовать перебор, наибольшая площадь будет у прямоугольника, стороны которого состоят из 6 и 7 спичек.

17. 2ч.

18. 2865.

19. 105° или 75°.

20. Одно число: 35.

21. 1 см.

22. Побеждает та девочка, который будет отрывать лепестки второй или следующей стратегии. При любом первом ходе первой девочки вторая делает такой ход, который разбивает все оставшиеся лепестки на две симметричные части. Рассмотрим два случая.

Случай 1: число лепестков у ромашки – нечетное. Если первая девочка отрывает один лепесток, то вторая отрывает два лепестка, но так, чтобы оставшиеся разбились на две симметричные части. Если первая девочка отрывает два лепестка, то вторая отрывает один лепесток, но так, чтобы оставшиеся лепестки разбивались на две симметричные части относительно центра ромашки.

Случай 2: число лепестков ромашки – четное. Если первая девочка отрывает один лепесток, то вторая отрывает тоже один лепесток, но так, чтобы оставшиеся разбились на две симметричные части. Если первая девочка отрывает два лепестка, то вторая отрывает тоже два лепестка но так, чтобы оставшиеся лепестки разбились на симметричные части относительно центра ромашки.

 Следующие свои ходы вторая девочка делает симметричных ходам первой девочки.

23. 74+874=948.

24. Нет, т.к. сумма 6 чисел первоначально была нечетной, а в случае равенства всех чисел она будет четной.

25. Врут оба. Рыжий ребенок – мальчик, черноволосый ребенок – девочка.

26. Да.

5 ведер	0	0	5	0	4	4	5
9 ведер	0	9	4	4	0	9	8

27. Да, доказывается м. от противного или с помощью обобщенного принципа Дирихле.

28. Да, разбив 4 монеты по 2 и взвешивая монеты каждой пары.

29. 13 знаков.

30. 80° и 84°.